無(wú)窮級(jí)數(shù)(冪級(jí)數(shù)).ppt

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1、9.3.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念9.3.2冪級(jí)數(shù)及其收斂性9.3冪級(jí)數(shù)9.3.3冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1.定義:9.3.1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念2.收斂點(diǎn)與收斂域:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.3.和函數(shù):(定義域是收斂域)9.3.2、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:任務(wù)：求冪級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)，并研究和函數(shù)的性質(zhì)。證明2、阿貝爾定理由(1)結(jié)論幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間定義:正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?注：冪級(jí)數(shù)的收斂域

2、要討論端點(diǎn)的收斂性.證明4、收斂半徑的求法法一：公式法由比值審斂法,定理證畢.說(shuō)明(2)an不能等于零。而是要用別的方法求R。不可說(shuō)冪級(jí)數(shù)沒(méi)有收斂半徑（一定有）例1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?-1,1].發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1].解缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,法二：直接利用比值，根值判別法（有缺項(xiàng)）級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.3.3、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1)加減法(其中(2)乘法(其中柯西乘積(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來(lái)兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多)即有從中可順序求出2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):(收

3、斂半徑不變)(收斂半徑不變)反復(fù)應(yīng)用上述結(jié)論可得：收斂半徑為R,若冪級(jí)數(shù)則它的和函數(shù)s(x)在區(qū)間(-R,R)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)。解兩邊積分得解解收斂區(qū)間(-1,1),習(xí)題9.39.4函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)9.4.1、泰勒級(jí)數(shù)9.4.2、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)9.4.1、泰勒級(jí)數(shù)1.問(wèn)題的引入（1）上一節(jié)主要討論冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)。反問(wèn)題：給定一個(gè)函數(shù)f(x),能否找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，他在某區(qū)間上收斂，而其和函數(shù)恰是f(x).若能找到這樣的冪級(jí)數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在該區(qū)間上能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。（2）第三章第三節(jié)泰勒公式中我們知道：如果函數(shù)f(x)在含有x0的某開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)

4、有直至(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)x，有ξ是位于x0、x之間的某個(gè)值。誤差為

5、Rn（x）

6、。如果函數(shù)f(x)在含有x0的某開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)各階導(dǎo)數(shù)都存在，則Pn(x)的項(xiàng)可無(wú)限增加而得一冪級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)（3）稱(chēng)為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)。問(wèn)題：1）此級(jí)數(shù)是否收斂？2）若收斂，和函數(shù)是否為f(x)?設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn（x）當(dāng)n??時(shí)的極限為0，即:證明：先證必要性。設(shè)函數(shù)f(x)在U(x0)上能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，即對(duì)一切x?U(x0)成立

7、。2.定理3）若f(x)能展開(kāi)冪級(jí)數(shù)是否還有其它形式?我們把f(x)的n階泰勒公式（1）寫(xiě)成：其中sn+1(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)（3）的前n+1項(xiàng)的和。因?yàn)閒(x)在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)（4），所以再證充分性：由f(x)的n階泰勒公式有：sn+1(x)=f(x)?Rn（x）即函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(x0)收斂，且收斂于f(x)。證畢。在（3）式中若取x0=0,得：f(x)=sn+1(x)+Rn（x）3.展開(kāi)式的唯一性級(jí)數(shù)（5）稱(chēng)為函數(shù)f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)。泰勒系數(shù)是唯一的,逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)證明1直接法：具體步驟如下：（i）求f(x)的各

8、階導(dǎo)數(shù)。（ii）求f(x)的各階導(dǎo)數(shù)在x=0（x=x0)處的值。（iii）寫(xiě)出f(x)所對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)，即麥克勞林（泰勒級(jí)數(shù)）：并寫(xiě)出其收斂半徑R。（iv）在（?R,R）內(nèi)考察：若為零，則在（?R,R）內(nèi)有9.4.2、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)得f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)：它的收斂半徑為R=+?對(duì)任何有限的x,ξ(ξ是位于0、x之間的某個(gè)值。得展開(kāi)式：得f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)：它的收斂半徑為R=+?對(duì)任何有限的x,ξ(ξ是位于0、x之間的某個(gè)值）。得展開(kāi)式：2間接法：（理論依據(jù)：展開(kāi)式的唯一性）（i）利用一些已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。（ii）利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算（四則，逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐

9、項(xiàng)積分）。（iii）變量代換。上式對(duì)x求導(dǎo)（右端逐項(xiàng)求導(dǎo)）得將上式從0到x逐項(xiàng)積分：將上式從0到x逐項(xiàng)積分：注：逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)微分可能改變區(qū)間端點(diǎn)的收斂情況。注應(yīng)熟記下列函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式：m為任意實(shí)數(shù)?；癁檎归_(kāi)成y的冪級(jí)數(shù)。習(xí)題9.41、熟練掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法2、會(huì)利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算法則求一些冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。的麥克勞林展開(kāi)式，并會(huì)利用間接展開(kāi)法將一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。一、內(nèi)容總結(jié)典型例題1填空絕對(duì)收斂R=4絕對(duì)收斂例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域。（1）解：的收斂半徑分別為R1=1；R2=1又因?yàn)楫?dāng)

10、x

11、=1時(shí)該級(jí)數(shù)發(fā)散，所以R=1收斂域?yàn)?－1，1)。

12、所以該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R≥1。（2）用