數(shù)學(xué)場論初步.ppt

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1、*§4場論初步在物理學(xué)中,曲線積分和曲面積分有著廣泛的應(yīng)用.物理學(xué)家為了既能形象地表達(dá)有關(guān)的物理量,又能方便地使用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行邏輯表達(dá)和數(shù)據(jù)計(jì)算,使用了一些特殊的術(shù)語和記號,在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生了場論.一、場的概念返回五、管量場與有勢場四、旋度場三、散度場二、梯度場一、場的概念若對全空間或其中某一區(qū)域V中每一點(diǎn)M,都有一個(gè)數(shù)量(或向量)與之對應(yīng),則稱在V上給定了一個(gè)數(shù)量場(或向量場).例如:溫度和密度都是數(shù)量場,M的位置可由坐標(biāo)確定.因此給定了某個(gè)數(shù)量場就總是設(shè)它對每個(gè)變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).同理,每重力和速度都是向量場.在引進(jìn)了直角坐標(biāo)系后

2、,點(diǎn)等于給定了一個(gè)數(shù)量函數(shù)在以下討論中個(gè)向量場都與某個(gè)向量函數(shù)相對應(yīng).這里P,Q,R為所定義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù),并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).設(shè)L為向量場中一條曲線.若L上每點(diǎn)M處的切線方向都與向量函數(shù)在該點(diǎn)的方向一致,即磁力線等都是向量場線.注場的性質(zhì)是它本身的屬性,和坐標(biāo)系的引進(jìn)無關(guān).引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來進(jìn)行計(jì)算和研究它的性質(zhì).則稱曲線L為向量場的向量場線.例如電力線、二、梯度場在第十七章§3中我們已經(jīng)介紹了梯度的概念,它方向上的方向?qū)?shù).gradu是由數(shù)量場u派生出來的一個(gè)向量場,稱為是由數(shù)量函數(shù)所定義的向量函

3、數(shù)gradu的方向就是使方向?qū)荻葓?由前文知道,數(shù)達(dá)到最大值的方向,就是在這個(gè)方因?yàn)閿?shù)量場的等值面的法線方向?yàn)樗詆radu恒與u的等值面正交.當(dāng)把它作為運(yùn)算符號來看待時(shí),梯度可寫作引進(jìn)符號向量1.若u,v是數(shù)量函數(shù),則2.若u,v是數(shù)量函數(shù),則特別地有梯度有以下一些用表示的基本性質(zhì):注通常稱為哈密頓(Hamilton)算符(或算子),讀作“Nabla”.4.若5.若則這些公式讀者可利用定義來直接驗(yàn)證.3.若則解若以上的單位向量,則有例1設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn),質(zhì)量為1的質(zhì)點(diǎn)位于記它表示兩質(zhì)點(diǎn)間的引力,方向朝著原點(diǎn),大小與質(zhì)量的乘積

4、成正比,與兩點(diǎn)間距離的平方成反比.這說明了引力場是數(shù)量場的梯度場,因此常稱為引力勢.三、散度場為V上的一個(gè)向量場.稱如下數(shù)量函數(shù):設(shè)為的散度.這是由向量場派生出來的一個(gè)數(shù)量場,也稱散度場,記作高斯公式可寫成如下向量形式:設(shè)為曲面S在各點(diǎn)的單位法向量,記,稱為S的面積元素向量.于是對上式中的三重積分應(yīng)用中值定理,使得在V中任取一點(diǎn)令V收縮到這個(gè)等式可以看作是散度的另一種定義形式.則同時(shí)有對上式取極限,得到的不可壓縮流體,經(jīng)過封閉曲面S的流量是于是(2)式表明是流量對體積V的變化率,若說明在每一單位時(shí)間內(nèi)有一定數(shù)散度的物理意義聯(lián)系本章§2中

5、提到的,流速為并稱它為在點(diǎn)的流量密度.稱這點(diǎn)為“匯”.容易由定義直接推得散度的以下一些基本性質(zhì):量的流體流出這一點(diǎn),則稱這一點(diǎn)為“源”.若說明流體在這一點(diǎn)被吸收,則若在每一點(diǎn)都有則稱為“無源場”.的散度也可表示為矢性算符與的數(shù)性積:3.若是一數(shù)量函數(shù),則算符于是1.若是向量函數(shù),則2.若是數(shù)量函數(shù),是向量函數(shù),則例2求例1中引力場所產(chǎn)生的散度場.解因?yàn)樗砸虼艘鲈诿恳稽c(diǎn)處的散度都為零(除原點(diǎn)沒有定義外).為V上的一個(gè)向量場.稱如下向量函數(shù):設(shè)場,也稱旋度場,記作四、旋度場為的旋度.是由向量場派生出來的一個(gè)向量為便于記憶起見,可用行列

6、式形式來表示旋度:類似于用散度表示的高斯公式(1),現(xiàn)在可用旋度來表示斯托克斯公式:其中為前述對于曲面S的面積元素向量;而則是對于曲線L的弧長元素向量.對后者說明如下:設(shè)是曲線L在各點(diǎn)處的正向單位切向量,弧長元素向量即為把公式(3)改寫成對上式中的曲面積分應(yīng)用中值定理,使得在S上任取一點(diǎn)令S收縮到這個(gè)等式也可以看作是旋度的另一種定義形式.則同時(shí)有對上式取極限,得到為了由(5)式直觀描述旋度的物理意義,不妨將其中的曲面塊S改換為平面區(qū)域D(圖22-12),這時(shí)(5)式又被改寫為在流速場中,曲線積分是沿閉曲線L的環(huán)流量,它表示流速為的不可壓

7、縮流體,在單位時(shí)間內(nèi)沿曲線L流過的總量.這樣,就反映了流體關(guān)于L所圍面積的平均環(huán)流密度.當(dāng)時(shí),(6)式右邊這個(gè)極限,就是流速場在點(diǎn)處按右手法則繞的環(huán)流密度.另一方面,(6)式左邊的是在上的投影.由此可見,當(dāng)所取的與同向時(shí),該投影為最大.綜合起來就可以說:這同時(shí)指出了旋度的兩個(gè)基本屬性:(i)的方向是在點(diǎn)處環(huán)流密度最大的方向;(ii)即為上述最大環(huán)流密度的數(shù)值.在上的投影.”“流速場在點(diǎn)處繞的環(huán)流密度,等于旋度為了更好地認(rèn)識旋度的物理意義及這一名稱的來源,我們討論剛體繞定軸旋轉(zhuǎn)的問題.設(shè)一剛體以角速與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則.當(dāng)時(shí),稱向量場為

8、“無旋場”.度繞某軸旋轉(zhuǎn),則的方向沿著旋轉(zhuǎn)軸,其指向若取定旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O作為原點(diǎn)(圖22-13),剛體上任意一點(diǎn)P的線速度可表示為其中是P的徑向量,設(shè)P的坐標(biāo)為,便有又設(shè)于是就是旋轉(zhuǎn)的角速度這也說明了旋度這