函數(shù)的凸性與拐點.doc

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1、函數(shù)的凸性與拐點教學(xué)目的：熟練掌握函數(shù)凸性的相關(guān)定義定理以及判別函數(shù)凸性與拐點的方法。重點難點：重點為對函數(shù)凸性概念的理解，難點為函數(shù)凸性相關(guān)命題的證明。教學(xué)方法：講練結(jié)合?？疾旌瘮?shù)和的圖象．它們不同的特點是：曲線上任意兩點間的弧段總在這兩點連線的下方；而曲線則相反，任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方．我們把具有前一種特性的曲線稱為凸的，相應(yīng)的函數(shù)稱為凸函數(shù)；后一種曲線稱為凹的，相應(yīng)的函數(shù)稱為凹函數(shù)．一、函數(shù)的凸性1．定義設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點和任意實數(shù)總有，則稱為上的凸函數(shù)．

2、反之，如果總有則稱為的凹函數(shù)．如果不等式改為嚴格不等式，則相應(yīng)的函數(shù)稱為嚴格凸函數(shù)和嚴格凹函數(shù)．易證：若為區(qū)間上的凸函數(shù)，則為區(qū)間上的凹函數(shù)．故只需討論凸性即可．2．引理為上的凸函數(shù)的充要條件是：對于上的任意三點總有。證[必要性]記由的凸性知道第六章第五節(jié)第6頁從而有，整理后即得(3)式·[充分性]在上任取兩點，（<，在[]上任取一點，由必要性的推導(dǎo)逆過程，可證得故為I上的凸函數(shù)同理可證，為I上的凸函數(shù)的充要條件是：對于I上任意三點，有3．可導(dǎo)函數(shù)凸性的等價命題定理6.13設(shè)為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，

3、則下述論斷互相等價：為I上凸函數(shù)；為I上的增函數(shù)；對I上的任意兩點，有．(5)證()任取I上兩點()及充分小的正數(shù)．由于，根據(jù)的凸性及引理有由是可導(dǎo)函數(shù)，令時可得，所以為I上的遞增函數(shù)．()在以為端點的區(qū)間上，由拉格朗日中值定理和遞增，有第六章第五節(jié)第6頁．移項后即得(5)式成立，且當時仍可得到相同結(jié)論．()設(shè)以為上任意兩點，0<<1．由，并利用，分別用和乘上列兩式并相加，便得．從而為上的凸函數(shù)．口注:論斷幾何意義：曲線總在它任一切線之上．這是可導(dǎo)凸函數(shù)的幾何特征．4．二階可導(dǎo)函數(shù)凸性的充要條件定

4、理6．14設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在上為凸(凹)函數(shù)的充要條件是．例1討論函數(shù)的凸(凹)性區(qū)間。解由于，因而當時，時．從而在(]上為凸函數(shù)，在[)上為凹函數(shù)．口例2若函數(shù)為定義在開區(qū)間()內(nèi)的可導(dǎo)的凸(凹)函數(shù)，則,為的極小(大)值點的充要條件是為的穩(wěn)定點，即．證下面只證明為凸函數(shù)的情形．必要性已由費馬定理可出，現(xiàn)在證明充分性．由定理6．13，任取()內(nèi)的一點，它與一起有因，故有，即為的極小值點(且為最小值點)．第六章第五節(jié)第6頁例3(詹森(Jensen)不等式)若為上凸函數(shù)，則對任意，有（6

5、）證應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．當時，命題顯然成立．設(shè)時命題成立．即對任意及都有　　現(xiàn)設(shè)及令．由數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)可推得這就證明了對任何正整數(shù)，凸函數(shù)總有不等式(8)成立．例4證明不等式，其中均為正數(shù)證設(shè)由的一階和二階導(dǎo)數(shù)可見，在時為嚴格凸函數(shù)，依詹森不等式有第六章第五節(jié)第6頁　　　　　　　　　從而。又因所以例設(shè)為開區(qū)間內(nèi)的凸(凹)函數(shù)，證明在內(nèi)任一點都存在左、右導(dǎo)數(shù)。證下面只證凸函數(shù)在存在右導(dǎo)數(shù).設(shè)<則對（這里取充分小的，使+由引理中的(4)式有令故由上式可見為增函數(shù)，任取且則對任何只要也有因而函數(shù)F()在>0

6、上有下界．故極限F()存在，即．存在。二、函數(shù)的拐點定義2設(shè)曲線在點處有穿過曲線的切線．且在切點近旁，曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴格凸和嚴格凹的，這時稱點為曲線的拐點．由定義可見，拐點正是凸和凹曲線的分界點．例l中的點(0，0)為=arctan的拐點．正弦曲線=sin有拐點為整數(shù)．1．拐點存在的必要條件定理6．15若在二階可導(dǎo)，則第六章第五節(jié)第6頁為曲線的拐點的必要條件是1．拐點存在的充分條件定理6．16設(shè)在可導(dǎo)，在某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)．若在和上的符號相反，則()為曲線的拐點．注：若()是曲線的一個拐點，

7、在的未必可導(dǎo)．如：函數(shù)y=在=0的情況．練習(xí)：習(xí)題2，3作業(yè)：習(xí)題1（1），4，5（1）第六章第五節(jié)第6頁