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1、2.4有限群不可約表示的特征標(biāo)表一、特征標(biāo)是研究群表示的重要且有效的工具即表示矩陣D(R)對角線上元素和為元素R的特征標(biāo)。1.定義設(shè)D(G)是群G的一個表示，表示D(G)的特征標(biāo)記為χ(G)其中群元素R的表示矩陣D(R)對應(yīng)的特征標(biāo)χ(R)為3.有限群的特征標(biāo)?設(shè)有限群G：階為g有n個不等價不可約表示Di(G),i=1,2,...,nDi(G)的維數(shù)為mi，特征標(biāo)為χi(G)●上面特征標(biāo)的性質(zhì)并不要求群G是有限群，是所有群特征標(biāo)的普遍性質(zhì)，下面給出有限群特征標(biāo)的性質(zhì)（上節(jié)涉及的定理和推論）2.性質(zhì)?等價表示的特征標(biāo)相等?同一表
2、示中，共軛元素特征標(biāo)相等?特征標(biāo)是類的函數(shù)，即同類元素特征標(biāo)相等?恒元的特征標(biāo)等于表示的維數(shù)若恒元的表示D(E)的維數(shù)為m，則χ(E)=TrD(E)m×m=m1)正交關(guān)系對群元素求和，特征標(biāo)作為群空間矢量對類求和，特征標(biāo)作為類空間矢量（加上歸一化系數(shù)）2)完備性特征標(biāo)構(gòu)成類空間完備基，任何類函數(shù)都可按其展開3)特征標(biāo)內(nèi)積可約表示約化為幾個不可約表示的過程中，有的不可約表示不止出現(xiàn)一次（重數(shù)）不可約表示：D(R)=Dj(R),χ(R)=χj(R)特征標(biāo)內(nèi)積為表示不可約的充要條件注意則表示不可約的充要條件為有些文獻上定義特征標(biāo)內(nèi)積
3、為4)有限群不等價不可約表示的個數(shù)等于群的類數(shù)維數(shù)的平方和等于群的階數(shù)二、特征標(biāo)表1.定義把有限群G的所有不等價不可約表示的特征標(biāo)，作為類的函數(shù)列出一個表，稱為群G的特征標(biāo)表。建立特征標(biāo)表的原因●在給定的線性空間，群表示的矩陣形式不唯一依賴于基的選擇，甚至依賴于基的排序但眾多的表示是定義在同一線性空間，可以通過相似變換聯(lián)系，即都是等價的●雖然群的表示矩陣不唯一，但是矩陣的跡（特征標(biāo)）在相似變換下不變（等價的表示特征標(biāo)對應(yīng)相等）因此，表示的特征標(biāo)成為表示的特征，與基的選擇無關(guān)●群論的主要任務(wù)就是對于各種典型的群，特別是物理中常見
4、的對稱變換群，尋找它們所有不等價不可約表示，研究可約表示的約化方法●對有限群，我們可以先找到群的所有不等價不可約表示的特征標(biāo)，列成特征標(biāo)表，再找不可約表示的表示矩陣，可使問題簡化●有限群不等價不可約表示的特征標(biāo)都滿足前面列出的性質(zhì)，那些性質(zhì)是寫特征標(biāo)表的依據(jù)，也是檢驗表是否正確的依據(jù)1）復(fù)共軛表示將一表示的所有表示矩陣都取其復(fù)共軛D(R)*，它們的集合也構(gòu)成原群的表示，稱為原表示的復(fù)共軛表示互為復(fù)共軛的表示，它們的特征標(biāo)互為復(fù)共軛2）自共軛表示若互為復(fù)共軛的兩個表示等價D(R)*=X-1D(R)X，則稱為自共軛表示自共軛表示的
5、特征標(biāo)必為實數(shù)3）群G的兩個不可約表示的直乘仍是G的一個表示特別是：其中一個是一維表示，直乘仍是不可約表示上面的方法有助于根據(jù)已知不可約表示尋找新的不可約表示2.特征標(biāo)表的構(gòu)成表頭：行：群包含的幾個類設(shè)有g(shù)c個類，第α類記為前面寫上類元素的個數(shù)n(α)列：群的幾個不等價不可約表示有限群不等價不可約表示個數(shù)=gc表中：每一行是一個不可約表示Di對應(yīng)不同類的特征標(biāo)χiα（α=1,...,gc）每一列是群每類元素在不同表示Di中的特征標(biāo)χiα（i=1,...,gc）特征標(biāo)表是一個正方形表：gc×gc12αgc由于特征標(biāo)的正交關(guān)系，因
6、此特征標(biāo)表的任兩行（列）滿足下列正交關(guān)系：正交關(guān)系既是寫特征標(biāo)表的依據(jù)，也是檢驗結(jié)果的依據(jù)寫一個群的特征標(biāo)表，通常表內(nèi)第一行：給出恒等表示D1的特征標(biāo)χ1α=1，即表的第一行為1第一列：給出恒元E表示的特征標(biāo)χi(E)=mi，即表的第一列為表示的維數(shù)3.N階循環(huán)群的特征標(biāo)表1）N階循環(huán)群的標(biāo)準(zhǔn)形式：CN={R,R2,...,RN=E}阿貝爾群，各元素間乘積可對易2）阿貝爾群每個元素自成一類，因此，N階循環(huán)群有N個類3）有限群不等價不可約表示的維數(shù)平方和=群的階m12+m22+...+mN2=N，則m1=m2=...=mN=1即
7、每個表示都為一維表示4）表示矩陣必須滿足群元素的乘積關(guān)系R?D(R);S?D(S)→RS?D(R)D(S)設(shè)D是CN的一個不可約表示，則mi=1，都是一維表示RN=E共有N個值，L=0對應(yīng)D1(E)=1恒等表示N階循環(huán)群有N個D(R)值，每一個值對應(yīng)一個不等價不可約表示，為方便，可寫成有的文獻取+對應(yīng)轉(zhuǎn)動角度2π/N以4階循環(huán)群為例C4={R,R2,R3,R4=E}將其對應(yīng)到轉(zhuǎn)動操作，相當(dāng)于每個操作相繼轉(zhuǎn)過2π/N={C(π/2),C(π),C(3π/2),C(2π)}C4群的特征標(biāo)表：第一行：給出恒等表示的特征標(biāo)第一列：給出
8、恒元在各表示中的特征標(biāo)（表示維數(shù)）表中各值：D22=exp(-(2-1)πi/2)=cos(π/2)-isin(π/2)=-iD23=exp(-(2-1)πi)=cos(π)-isin(π)=-1E=C(2π)1C(π/2)1C(π)1C(3π/2)D1D2D3D411111
