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1、第三章脊波和曲波變換自然圖像中包含有大量的紋理特征,線奇異性表現(xiàn)比較突出,小波變換不能達到最優(yōu)的逼近。為了克服小波的這種不足,Candes等人提出了一種新的多尺度變換——Ridgelet變換(RidgeletTransform)JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,200813.1Ridgelet變換的定義3.1.1一維Ridgelet變換引入函數(shù)集：d?1Γ={γ=()aubabRa,,;,∈,>0,uS∈}(3-1)是d維空間的單位球面。記多維空間的Fourier變換為：f?e??ixξfxdxxR,d(ξ)=∈
2、∫()(3-2)JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20082定義3.1：取一光滑的一元函數(shù)：CRTf(ab,,θψ)=∫R2()ab,,θ(XfXdX)()其中ψ:RR→并滿足容許條件∫ψ(tdt)=0JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20083定義一個多元函數(shù)：?1/2??uxb??ψ()xa=?ψ??γ??a(3-3)ψ則稱γ為由容許條件ψ生成的Ridgelet[2]。其中稱a為ubψRidgelet的尺度參數(shù)，表示方向，為位置參數(shù)。γ是一個不可分離變量的
3、基本函數(shù)生成元，能夠生成一組面向目標(biāo)的Ridgelet族。JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20084圖3-1給出Ridgelet的幾種形式的圖解，其中ψ取Marr小波22??tψ()tt=?()1exp?????2（a）原函數(shù)（b）尺度a變換JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20085（c）平移b變化（b）旋轉(zhuǎn)變化θθ圖3-1Ridgelet的各種表現(xiàn)形式Ridgelet變換具有方向選擇和識別的能力，可以更有效地表示信號中具有方向性的奇異特征。JointLa
4、boratoryofShantouandXiamenUniversity,200863.1.2二維Ridgelet變換二維連續(xù)Ridgelet變換（ContinuousRidgeletTransform，CRT）在域的定義為[2]：CRTf(ab,,θψ)=∫R2()ab,,θ(XfXdX)()(3-4)反變換公式：2π∞∞dadθfX()=∫∫∫CRTabfa(,,θψ),,bθ()X3db(3-5)a4π00?∞JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20087圖3-2一個典型的Ridgelet函數(shù)ψ(,)xxab
5、,,θ12JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20088反變換公式：2π∞∞dadθ(3-5)fX()=∫∫∫CRTabfa(,,θψ),,bθ()X3dba4π00?∞從以上關(guān)系式可以看出，Ridgelet變換和二維小波變換有相似之處，只是用線參數(shù)取代了點參數(shù)。因此小波變換是逐點刻畫點的奇異性，而Ridgelet變換是沿脊線刻畫線的奇異性。JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,20089（a）空間的Radon變換（b）Radon、Fourier和Ridgelet變
6、換的關(guān)系圖3-3Radon、Fourier和Ridgelet變換JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,200810設(shè)函數(shù)fX()，其Radon變換可表示為[3]：Rtf(θδ,c)=+∫2f(xx1,2)(x1osθx2sinθ?tdxdx)12(3-6)R則Ridgelet變換可以表示為函數(shù)Radon變換切片上的一維小波變換：CRTfa()ab,,θψ=∫,b(tR)f(θ,tdt)R(3-7)JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,2008113.2正交Ridgel
7、et變換22Donoho構(gòu)造了LR()中的一組規(guī)范正交基，并稱之為正交Ridgelet[4]。正交Ridgelet多了局域化的優(yōu)點，在空域光滑并快速衰減，在頻域中其支撐區(qū)間為某個局部的“徑向頻率×角度頻率”區(qū)間。正交Ridgelet在頻域中定義。設(shè)(ψjk,(tjZkZ):,∈∈)(3-8)JointLaboratoryofShantouandXiamenUniversity,2008122是中L[0,2)π由Meyer小波構(gòu)成的規(guī)范正交基；令ψ?jk,(ω)表示ψjk,(t)的傅立葉變換，于是，ρλ(xj),,λε=(k;i,l,)正交Ridgelet：可在頻
