高數(shù)下曲面及其方程ppt課件.ppt

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1、四、二次曲面第三節(jié)一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束曲面及其方程第七章1一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得即說明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2定義1.如果曲面S與方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z

2、)=0的圖形.兩個(gè)基本問題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3故所求方程為例1.求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為R的軌跡表示上(下)球面.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4例2.研究方程解:配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌

3、跡.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束5定義2.一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束6建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz面上曲線C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束7思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束8例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回

4、結(jié)束9例4.求坐標(biāo)面xoz上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束10三、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的一種基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束111.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線.可以證明,橢圓①上任

5、一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.①(我們還可以用伸縮變形的方法來得到橢圓錐面的形狀。)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束12沿著y軸方向伸縮b/a倍，就變?yōu)闄E圓例如，把圓類似的，把空間圖形沿著y軸方向伸縮b/a倍，就變?yōu)闄E圓錐面那么，圓錐面利用圓錐面（旋轉(zhuǎn)曲面）的伸縮變形來得到橢圓錐面的形狀，這種方法是研究曲面形狀的一種較簡(jiǎn)便的方法。132.橢球面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束球面是旋轉(zhuǎn)橢球面的特殊情形，旋轉(zhuǎn)橢球面是橢球面的特殊情形。把xoz面上的橢圓繞z軸旋轉(zhuǎn)，得到的曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面，其方程為再把旋轉(zhuǎn)橢球面沿著y軸方向伸縮b/a倍，便

6、得到橢球面。143.雙曲面(1)單葉雙曲面把此旋轉(zhuǎn)曲面沿著y軸方向伸縮b/a倍，即得到單葉雙曲面。繞z軸旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束15(2)雙葉雙曲面P18目錄上頁下頁返回結(jié)束164.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q同號(hào))(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當(dāng)p=q時(shí)為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.(p,q同號(hào))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束用截痕法討論它的形狀。17四、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點(diǎn)作柱面.對(duì)

7、任意z,平行z軸的直線l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束18定義3.平行定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線l形成的軌跡叫做柱面.?表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.z軸的橢圓柱面.?z軸的平面.?表示母線平行于(且z軸在平面上)表示母線平行于C叫做準(zhǔn)線,l叫做母線.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束19一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸;平行于z軸;準(zhǔn)線xoz面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線xoy面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線yoz面上的曲線l2.母線機(jī)

8、動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束20內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z軸的旋轉(zhuǎn)曲面:柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束212.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束22斜率為1的直線