韋達(dá)定理及其應(yīng)用.doc

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1、韋達(dá)定理及其應(yīng)用【內(nèi)容綜述】　　設(shè)一元二次方程有二實數(shù)根，則，?！　∵@兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a，b，c的關(guān)系，稱之為韋達(dá)定理。其逆命題也成立。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)競賽中有著廣泛的應(yīng)用。本講重點介紹它在五個方面的應(yīng)用?！疽c講解】　　1．求代數(shù)式的值　　應(yīng)用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值?！　　铩锢?若a，b為實數(shù)，且，，求的值?！　∷悸纷⒁鈇，b為方程的二實根；（隱含）?！　　　≌f明此題易漏解a=b的情況。根的對稱多項式，，等都可以用方

2、程的系數(shù)表達(dá)出來。一般地，設(shè)，為方程的二根，，則有遞推關(guān)系?！　　　∑渲衝為自然數(shù)。由此關(guān)系可解一批競賽題。　　附加：本題還有一種最基本方法即分別解出a，b值進(jìn)而求出所求多項式值，但計算量較大?！　　铩铩锢?若，且，試求代數(shù)式的值?！　∷悸反死捎蒙侠姓f明部分的遞推式來求解，也可以借助于代數(shù)變形來完成?！　　?．構(gòu)造一元二次方程　　如果我們知道問題中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達(dá)定理構(gòu)造以這兩個字母為根的一元二次方程?！　　铩铩铩锢?設(shè)一元二次方程的二實根為和。　?。?）試求以和為根的一元二次方程；　?。?）若以和為根的

3、一元二次方程仍為。求所有這樣的一元二次方程。　　　　3．證明等式或不等式　　根據(jù)韋達(dá)定理（或逆定理）及判別式，可以證明某些恒等式或不等式?！　　铩铩锢?已知a，b，c為實數(shù)，且滿足條件：，，求證a=b。　　　說明由“不等導(dǎo)出相等”是一種獨特的解題技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維?！　?．研究方程根的情況　　將韋達(dá)定理和判別式定理相結(jié)合，可以研究二次方程根的符號、區(qū)間分布、整數(shù)性等。關(guān)于方程的實根符號判定有下述定理：　?、欧匠逃卸?，ab<0，ac>0；　?、品匠逃卸?fù)

4、根，ab>0，ac>0；　?、欠匠逃挟愄柖?，ac<0；　?、确匠虄筛鶠椤?”，b=c=0，；　　★★★例5設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件，試求實數(shù)a的范圍?！　、哦笥?；　?、埔桓笥?，另一根小于1?！　∷悸吩O(shè)方程二根分別為，，則二根均大于1等價于和同時為正；一根大于1，另一根小于是等價于和異號?！　　　≌f明此例屬于二次方程實根的分布問題，注意命題轉(zhuǎn)換的等價性；解題過程中涉及二次不等式的解法，請參照后繼相關(guān)內(nèi)容。此例若用二次函數(shù)知識求解，則解題過程極為簡便?！　?．求參數(shù)的值與解方程　　韋達(dá)定理及其逆定理在確定

5、參數(shù)取值及解方程（組）中也有著許多巧妙的應(yīng)用?！　　铩铩锢?解方程。　　　　強(qiáng)化訓(xùn)練A級　　★★1.若k為正整數(shù)，且方程有兩個不等的正整數(shù)根，則k的值為________________?！　　铩?.若，，則_______________?！　　铩铩?.已知和是方程的二實根，則_____________。　　★★★4.已知方程（m為整數(shù)）有兩個不等的正整數(shù)根，求m的值。Ｂ級★★★★5.已知：和為方程及方程的實根，其中n為正奇數(shù)，且?！　∏笞C：，是方程的實根?！　　铩铩铩?.已知關(guān)于x的方程的二實根和滿足，試求k的值。