有限差分法、邊界元法和離散元法.doc

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1、有限差分法已經(jīng)發(fā)展的一些近似數(shù)值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以處理一些相當(dāng)困難的問題。但對于幾何形狀復(fù)雜的邊界條件，其解的精度受到限制，甚至發(fā)生困難。作為60年代最重要的科技成就之一的有單元法。在理論和工程應(yīng)用上都_得到迅速發(fā)展，幾乎所有用經(jīng)典力學(xué)解析方法難以解決的工程力學(xué)問題郁可以用有限元方法求解。它將連續(xù)的求解域離散為一組有限個單元的組合體，解析地模擬或逼近求解區(qū)域。由于單元能按各種不同的聯(lián)結(jié)方式組合在一起，且單元本身又可有不同的幾何形狀，因此可以適應(yīng)幾何形狀復(fù)雜的求解域。相限元的另一特點是利用每一單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來表示全

2、求解區(qū)域上待求的未知場函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場函數(shù)在各個單元結(jié)點上數(shù)值以及插值函數(shù)表達，這就使未知場函數(shù)的結(jié)點值成為新的未知量，把一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題，只要結(jié)點來知量解出，便可以確定單元組合體上的場函數(shù)。隨著單元數(shù)目的增加，近似解收斂于精確解。但是有限元方法常常需要很大的存貯容量，甚至大得無法計算；由于相鄰界面上只能位移協(xié)調(diào)，對于奇異性問題(應(yīng)力出現(xiàn)間斷)的處理比較麻煩。這是有限單元法的不足之處。邊界元法邊界元法是在有限元法之后發(fā)展起來的一種較精確有效的工程數(shù)值分析方法。與有限元法在連續(xù)體域內(nèi)劃分單元的基本思

3、想不同，邊界元法是在定義域的邊界上劃分單元，用滿足控制方程的函數(shù)去逼近邊界條件，通過對邊界分元插值離散，化為代數(shù)方程組求解。降低了問題的維數(shù)，可用較簡單的單元準(zhǔn)確地模擬邊界形狀，利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數(shù)，而具有解析與數(shù)值相結(jié)合的特點，通常具有較高的精度。邊界元法的主要缺點是它的應(yīng)用范圍以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提，對于非均勻介質(zhì)等問題難以應(yīng)用，故其適用范圍遠不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣是非對稱滿陣，對解題規(guī)模產(chǎn)生較大限制。上述兩種數(shù)值方法的主要區(qū)別在于，邊界元法是“邊界”方法，而有限

4、元法是“區(qū)域”方法，但都是針對連續(xù)介質(zhì)而言，只能獲得某一荷載或邊界條件下的穩(wěn)定解。對于節(jié)理裂隙發(fā)育的巖體或顆粒散體的處理則要麻煩得多，更無法進行大變形、分離、回轉(zhuǎn)及塌落過程的模擬。這就使得人們?nèi)ヌ剿骱蛯で筮m合模擬節(jié)理巖體和顆粒散體運動變形特性的有效數(shù)值方法。離散元法離散元法是由CundallPA(1971)首先提出并應(yīng)用于巖土體穩(wěn)定性分析的一種數(shù)值分析方法。它是一種動態(tài)的數(shù)值分析方法,可以用來模擬邊坡巖體的非均質(zhì)、不連續(xù)和大變形等特點,因而,也就成為目前較為流行的一種巖土體穩(wěn)定性分析數(shù)值方法。該方法在進行計算時,首先將邊坡巖體劃分為若干剛性塊

5、體(目前已可以考慮塊體的彈性變形),以牛頓第二運動定律為基礎(chǔ),結(jié)合不同本構(gòu)關(guān)系,考慮塊體受力后的運動及由此導(dǎo)致的受力狀態(tài)和塊體運動隨時間的變化。它允許塊體間發(fā)生平動、轉(zhuǎn)動,甚至脫離母體下落,結(jié)合CAD技術(shù)可以在計算機上形象地反應(yīng)出邊坡巖體中的應(yīng)力場、位移及速度等力學(xué)參量的全程變化。該方法對塊狀結(jié)構(gòu)、層狀破裂或一般碎裂結(jié)構(gòu)巖體比較適合。caoyb19822009-05-2409:09的數(shù)值方法有很多，可以分為兩大類：一類是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)數(shù)值方法，另一類是非連續(xù)介質(zhì)力學(xué)數(shù)值方法。其中連續(xù)介質(zhì)力學(xué)數(shù)值方法將巖體簡化成數(shù)學(xué)意義上的連續(xù)體來進行分析，主要

6、有：有限差分法、有限元法、邊界元法、無單元法等等。!Hq$7j_?有限差分法（FiniteDifferenceMethod，F(xiàn)DM）是求解偏微分方程的最重要的數(shù)值方法之一，其主要思想是將微分方程近似地用相應(yīng)的差分方程來替代，從而將求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程組的問題。,Tak',?有限元分析（finiteelementanalysis，fea）是使用有限元方法來分析靜態(tài)或動態(tài)的物理物體或物理系統(tǒng)，是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的(較簡單的)近

7、似解，然后推導(dǎo)求解這個域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件)，從而得到問題的解。這個解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。然而，當(dāng)巖體中存在著大量結(jié)構(gòu)面時，將為上述接觸單元和接觸模型的使用帶來困難，處理連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的有限單元法對于需要考慮大量結(jié)構(gòu)面的非連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題如巖石邊坡穩(wěn)定等，就顯現(xiàn)出其局限性。3,`I>No?邊界積分方程－邊界元法（BoundaryIntegralEquation-Boundary

8、ElementMethod）簡稱邊界元法（BEM）是繼有限元之后發(fā)展起來的一種有效的數(shù)值分析方法。其基本思想是以邊界積分方程為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時采用與有限元法類似的離散