陳培東-初等數(shù)論.doc

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1、2012省夏令營(yíng)數(shù)論選講（一）1、設(shè)為正整數(shù)，<100，并且能被24整除，求這樣的數(shù)。2、求證：對(duì)任意非負(fù)整數(shù)，至少是個(gè)素?cái)?shù)（可以相同）的乘積。3、設(shè)E={1,2,3，……，200}G={，，……，}E，且G具有下列兩個(gè)性質(zhì)：（1）對(duì)任何1≤＜≤100，恒有（2）證明：G中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)且G中所有數(shù)字的平方和為定值4、求所有的素?cái)?shù)對(duì)（p，q），使得5、求所有的正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)數(shù)列，，……，，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)k（2≤k≤n-1）有6、設(shè){}為一整數(shù)數(shù)列，其中為奇數(shù)，對(duì)任意的自然數(shù)n，均有，已知可被2010整除，求最小的整數(shù)n（n≥2），使可被2010

2、整除。7、證明：連續(xù)55個(gè)整數(shù)的平方不失完全平方數(shù)。8、解方程9、令（p為奇質(zhì)數(shù)），且。證明：若對(duì)于整數(shù)m、n，有，則p

3、（m-n）10、已知整數(shù)x、y、z滿足，求x、y、z。11、甲從乙處得到一張藏寶圖，藏寶圖上存在一個(gè)坐標(biāo)系，乙將寶藏藏在整點(diǎn)（x，y）處（此地點(diǎn)并不確定。同時(shí)，他還在地圖上標(biāo)明了和的值，且這兩個(gè)值不相等。證明：甲只能在一點(diǎn)找到寶藏。12、求方程(3x+1)(3y+1)(3z+1)=34xyz的所有正整數(shù)解（x，y，z）13、設(shè)p為質(zhì)數(shù)，且x，y，z是正正式并滿足0

4、1、求所有的正整數(shù)n（n>1），使得存在連續(xù)n個(gè)整數(shù)，它們的平方和為一個(gè)質(zhì)數(shù)。2、對(duì)任意的整數(shù)n（n≥2），表示方程的解集。（1）求（2）證明：集合是有限集，并求A中的最大元素3、求出所有質(zhì)數(shù)p，使得是完全平方數(shù)。4、以表示前n個(gè)質(zhì)數(shù)之和，如=2，=2+3=5，=2+3+5=10，…問：在數(shù)列{}中是否有相連的兩項(xiàng)是完全平方數(shù)。1、設(shè)自然數(shù)滿足（1）證明：≥1（2）求所有滿足條件的（）2、分母分別為600,700的兩個(gè)既約分?jǐn)?shù)相加，求將所得的和約分后分母的最小可能值。3、是否存在，使得103

5、n，且成立？1、證明：不存在這樣一個(gè)質(zhì)數(shù)數(shù)列{}()，使得對(duì)每個(gè)，都有

6、或2、設(shè)，p為質(zhì)數(shù)，證明：當(dāng)n≥2時(shí)（），無解。3、已知，n>1，證明：不定方程無正整數(shù)解。1、求所有正整數(shù)n，使n(n+2)(n+4)至少有15個(gè)正因子。12、求所有的正整數(shù)n，使得存在一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，有成立。其中，d為n的每一個(gè)正因子。