中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.doc

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1、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究》期末復(fù)習(xí)綜合練習(xí)四（綜合題）1.己知菱形的邊長等于兩條對角線的比例屮項，求菱形的銳角。請用三種方法求解此題，并說明“一題多解”對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維及數(shù)學(xué)能力的作用。2?5人排成一排，甲不能站在首位和末尾，有多少不同種的排法？請用兩種方法求解此題，并說明“一題多解”對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維及數(shù)學(xué)能力的作用。3.什么是反證法？它的邏輯基礎(chǔ)是什么？用反證法證明：若b,c都是奇數(shù)，則方程ax2+bx+c二0不可能存在有理根。4.什么是反證法？它的邏輯基礎(chǔ)是什么？用反證法證明"為無理數(shù)。5.什么是歸納推理？舉例說明它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。6.何謂第一數(shù)學(xué)歸納法？用第一數(shù)學(xué)

2、歸納法證明：若d〉0,則對于任一自然數(shù)n,有（1+a）"nI+neto7.何謂第二數(shù)學(xué)歸納法？用第二數(shù)學(xué)歸納法證明（3+V5f+（3-V5）z,是2"的倍數(shù)。8.試按波利亞的解題四步驟來分析下題的解題過和在AABC中，ZA、ZB.ZC所對的邊分別是a、b、c,且c二10,cosA/cosB=b/a=4/3,P為AABC內(nèi)切圓上的動點。求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最小值與最大值。9.在厶ABC中,ZA、ZB、ZC所對的邊分別是a、b、c,且c=10,cosA/cosB=b/a=4/3,P為AABC內(nèi)切圓上的動點。求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最小值與最大值。求

3、解此題，并結(jié)合此題的解題過程說明影響問題解決的因素有哪些？（至少舉出四種因素）10.課堂教學(xué)是學(xué)校教學(xué)活動屮最重要、具有實質(zhì)性價值的環(huán)節(jié)和教學(xué)形式，結(jié)合你個人的實際體會，談?wù)勗鯓硬拍苌虾脭?shù)學(xué)課。【參考答案和提示】1.答：（1）三種解法（略）（2）創(chuàng)造性思維的含義、特點及其培養(yǎng)：根據(jù)心理學(xué)家林崇徳教授的研究，創(chuàng)造性思維具有如下五個重要特點：%1新穎、獨特且有意義的思維活動；②思維加想象是創(chuàng)造性思維的兩個重要成分；③在創(chuàng)造性思維過程屮，新形彖和新假設(shè)的產(chǎn)生有突然性，常被稱為“靈感”；④分析思維和肓覺思維的統(tǒng)一；⑤創(chuàng)造性思維是發(fā)散思維與輻合思維的統(tǒng)一。發(fā)散思維就是對熟悉的事物，能夠

4、采用新的方法或從新的角度加以研究，從而在相同或相似Z屮看出不同的思維形式。此題可以用余弦定理求解；從菱形的曲積考慮；用解析法求解等多種方法(解法略)。學(xué)生可以從多角度、多方面探索問題的求解方法，開闊思路。所以說，數(shù)學(xué)屮的一題多解、一題多變雖是傳統(tǒng)方法,但確是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的一種好方法。(3)數(shù)學(xué)能力的含義、結(jié)構(gòu)及其培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力是與數(shù)學(xué)活動相適應(yīng)，保證數(shù)學(xué)活動順利完成的心理條件。數(shù)學(xué)能力的主要成分：感知數(shù)學(xué)材料形式化的能力；對數(shù)學(xué)對象、數(shù)和空間的關(guān)系的抽象概括能力；運用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行推理的能力；運用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行運算的能力；思維轉(zhuǎn)換能力；記憶特定數(shù)學(xué)符號、抽象的教學(xué)原理和方法、形

5、式化的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)的能力。思維轉(zhuǎn)換能力是從一種心理運算轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N心理運算的能力，是數(shù)學(xué)能力的一個重要組成部分。通過“一題多解”問題可以使學(xué)生擺脫習(xí)慣的思路和常規(guī)的解題模式的束縛，促進(jìn)思維轉(zhuǎn)換能力的提高。創(chuàng)造性思維及數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)離不開數(shù)學(xué)活動、也離不開解題活動。在數(shù)學(xué)教學(xué)屮，采用“一題多解”的教法，引導(dǎo)學(xué)生評價各種不同解法的特點及其優(yōu)劣,不但能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且對于提高解題能力、優(yōu)化解題思路、增強發(fā)散思維能力和思維轉(zhuǎn)換能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維及數(shù)學(xué)能力是有很大好處。［提示］該題目涉及第四章和第八章兩章的內(nèi)容，屬于難度稍大的題。2?答：(1)方法一：方法二：Al-

6、AA^(2)(3)(同前題)［提示］該題僅更換了實例部分，其它均與前一題相同。實際上這類題忖考察的是兩方血的內(nèi)容，一是應(yīng)試者本人會用多種解法解決實際問題，二是理解創(chuàng)造性思維的特點和數(shù)學(xué)能力的含義與結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上來闡述一題多解對培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和數(shù)學(xué)能力的作用?？梢娛菊咭急容^大的分最。所以在冋答時T力-不能因為一時想不出實例的多種解法而放棄答題。3.解：反證法是一種假設(shè)題斷的反面成立，在已知條件和“否定題斷”這個新條件下，通過邏輯推理，得出與公理、定理、題設(shè)、臨時假定相矛盾的結(jié)論或自相矛盾，從而斷定題斷的反面不能成立，即證明了命題的結(jié)論一定是正確的證明方法。反證法的邏輯基礎(chǔ)

7、是邏輯等價式p—q三p^qm證明：假設(shè)方稈存在有理根匕（p,q互為質(zhì)數(shù)），q原方程"（￡）2+幾（￡）+_訴+鑼+燈（1）qqq「因p,q互為質(zhì)數(shù)，所以p,q或者都為奇數(shù)，或者一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)。當(dāng)P，q都為奇數(shù)時，（1）式分子為三個奇數(shù)Z和，不可能為零。即（1）式不等于零，與左q是方程的根矛盾。當(dāng)P，q一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)時，不妨設(shè)P為偶數(shù)，q為奇數(shù)。（1）式分了為兩個偶數(shù)和一個奇數(shù)的和，不可能為零。即（1）式不等于零，與左是方程的根矛盾。q綜上，方程不可能有有理根。［提示］該題目主要涉及第五章