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1、第四節(jié)一、幾種常見的曲面及其方程二、二次曲面三、曲線曲面與曲線第七章由兩點間距離公式1.空間一動點到定點的距離為定值，該動點軌跡叫球面。特別,當M0在原點時,球面方程為設軌跡上動點為定值為R，定點表示上(下)球面.定點叫球心，定值叫半徑。例2.研究方程解:配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面,或點,或虛軌跡.2、柱面.平行定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.?拋物柱面,橢圓柱面.經過z軸的平面.以上的柱面母線都平行
2、于Z軸C叫做準線,l叫做母線.圓柱面一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸;平行于z軸;準線xoz面上的曲線l3.母線柱面,準線xoy面上的曲線l1.母線準線yoz面上的曲線l2.母線一條平面曲線3、旋轉曲面繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如:建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為當繞z軸旋轉時,若點給定yoz面上曲線C:則有則有該點轉到思考：當曲線C繞y軸旋轉時，方程如何？例3.試建立頂點在原點,旋轉軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面
3、上直線L的方程為繞z軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方例4.求坐標面xoz上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.解:繞x軸旋轉繞z軸旋轉這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為二、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當a＝b時為旋轉橢球面;同樣的截痕及
4、也為橢圓.當a＝b＝c時為球面.(3)截痕:為正數(shù))2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q同號)(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當p=q時為繞z軸的旋轉拋物面.(p,q同號)3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z軸;相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面圖形4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.①內容小結1.空間曲面三元方程球面旋
5、轉曲面如,曲線繞z軸的旋轉曲面:柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:設有兩塊曲面S1,S2,它們的方程依次為:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2的交線C上的點一定同時滿足這兩個方程,而不在交線上的點絕不會同時滿足這兩個方程.因此即為交線C的方程,稱為空間曲線C的一般方程.(2)二、空間曲線及其方程1.空間曲線的一般方程2.空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上動點的坐標x,y,z
6、都表示成一個參數(shù)t的函數(shù).x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t)當給定t=t1時,就得到C上一個點(x,y,z),隨著t的變動便可得曲線C上的全部點.方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程.例6:如果空間一點M在圓柱面x2+y2=a2上以角速度?繞z軸旋轉,同時又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升(其中?,v都是常數(shù)),那末點M構成的圖形叫做螺旋線,試建立其參數(shù)方程.解:取時間t為參數(shù),設當t=0時,動點位于x軸上的一點A(a,0,0)處,經過時間t,由A運動到M(x,y,z),M在xOy面上的投影為M?(x,y,0).xyzh
7、AOM?tM?(1)動點在圓柱面上以角速度?繞z軸旋轉,所以經過時間t,?AOM?=?t.從而x=
8、OM?
9、·cos?AOM?=acos?ty=
10、OM?
11、·sin?AOM?=asin?t(2)動點同時以線速度v沿z軸向上升.因而z=MM?=vt得螺旋線的參數(shù)方程x=acos?ty=asin?tz=vt注:還可以用其它變量作參數(shù).xyzAOM?tM?yxzAOM?tM?例如:令?=?t.?為參數(shù);螺旋線的參數(shù)方程為:x=acos?y=asin?z=b?當?從?0變到?0+?是,z由b?0變到b?0+b?,即M點上升的高度與OM?轉
12、過的角度成正比.特別,當?=2?時,M點上升高度h=2?b,h在工程上稱h=2?b為螺距.3.空間曲線在坐標面上投影設空間曲線C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4)由方程組(4)消去z后得方程H(x,y)=0(5)方程(5)表示一個母線平行于
