參數(shù)估計的點估計.ppt

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1、第七章參數(shù)估計數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一是根據(jù)樣本所提供的信息，對總體的分布以及分布的數(shù)字特征做出統(tǒng)計推斷．統(tǒng)計推斷的主要內(nèi)容分為兩大類：一類是參數(shù)估計問題，另一類是假設(shè)檢驗問題．本章主要討論參數(shù)估計問題．這里的參數(shù)可以是總體分布中的未知參數(shù)，也可以是總體的某個數(shù)字特征．若總體分布形式已知，但它的一個或多個參數(shù)未知或總體的某個數(shù)字特征未知時，就需借助總體X的樣本來估計未知參數(shù)．以下主要討論總體參數(shù)的點估計和區(qū)間估計．§7.1點估計參數(shù)的點估計(PointEstimation)，就是利用樣本的信息對總體分布中的未知參數(shù)作定值估計．設(shè)總體X的分布函數(shù)形式為已知，但它的一個或多

2、個參數(shù)為未知，我們的目的是構(gòu)造一個相應(yīng)的統(tǒng)計量去估計該未知參數(shù)，即借助于總體X的一個樣本來估計總體的未知參數(shù)，這種估計稱為參數(shù)的點估計．下面給出兩種點估計量的求法．一．矩估計矩估計(MomentEstimation)又稱數(shù)字特征法估計，它的基本思想是用樣本矩估計總體的相應(yīng)矩，用樣本的數(shù)字特征估計總體相應(yīng)的數(shù)字特征．若總體X中包含k個未知參數(shù)θ1，θ2，…，θk，記總體原點矩，則由樣本原點矩可建立如下k個方程的方程組．即（7-1）注意：上述方程的右端實際上包含有未知參數(shù)θ1，θ2，…，θ，因此，（7-1）是k個未知量、k個方程的一個方程組，一般來說，我們可以從中解得它們

3、就是未知參數(shù)θ1，θ2，…，θ的矩估計．另外，（7-1）中也可用相應(yīng)的中心矩代替．利用矩估計求出的估計量稱為矩估計量，這種求估計量的方法稱為矩法．可以看出，無論總體X服從什么分布，只要EX=μ，DX=σ2存在，它們的矩估計量總是矩估計既直觀又簡便，特別是在估計總體的均值、方差等數(shù)字特征時，不必知道總體的分布類型，這是矩估計的優(yōu)點．矩估計的不足之處是要求總體存在所需的矩，在總體分布類型已知的情形下，矩估計也未充分利用總體分布類型提供的信息，這時它的精度可能比別的估計法低．二．最大似然估計矩估計不涉及總體的分布類型，而實際問題中總體的分布類型常常是已知的，這正是估計總體參

4、數(shù)的一個有用信息．在估計參數(shù)時，我們應(yīng)充分利用這些信息，以下給出在總體分布類型已知時的最大似然估計(MaximumLikelihoodEstimation)．1.最大似然估計法的基本思想：在隨機抽樣中，對于隨機樣本記它的取值為，由于是隨機的，在一次抽樣中居然取到則我們有理由認為該隨機樣本取到的概率最大．從而可選取適當?shù)膮?shù)，使其取到該樣本值的概率達到最大，這就是最大似然估計的基本思想．先看一個例子，然后分別討論離散情形和連續(xù)情形．2.最大似然估計的基本步驟（1）總體分布為離散的情形總體X的概率分布，其中θ1，θ2，…，θ是總體分布中的未知參數(shù)，這時樣本值（）出現(xiàn)的概率

5、是（7-2）記此概率為，即（7-3）它是參數(shù)的函數(shù)，選擇參數(shù)值使（7-4）并用作為的估計值，這種求估計值的方法稱為最大似然估計法；用這種方法求得的估計值叫做的最大似然估計值；而稱為參數(shù)的似然函數(shù)(LikelihoodFunction)．如果似然函數(shù)對的導數(shù)或偏導數(shù)存在，那么根據(jù)多元函數(shù)極值理論應(yīng)有（7-5）從中解出的最大值點即為最大似然估計值．由于對數(shù)函數(shù)lnL是單調(diào)增加的，所以L和有相同的最大值點．利用這一事實，可將最大化L的問題轉(zhuǎn)化為最大化lnL，這樣，往往可簡化最大似然估計的求法．通常將lnL稱為對數(shù)似然函數(shù)．(2)總體分布為連續(xù)的情形設(shè)總體X的概率密度是，其中

6、θ1，θ2，…，θk為未知參數(shù)．考察隨機樣本（X1，X2，…，Xn）落在樣本值（）的指定鄰域內(nèi)的概率其中都是充分小的常量．令，（7-6）由于是常數(shù)，所以上述概率達到最大，當且僅當L（θ1，θ2，…，θk）達到最大．這里的L（θ1，θ2，…，θk）稱為似然函數(shù)，滿足的稱為的最大似然估計；這種求估計值的方法同樣稱為最大似然法．具體做法與情形（1）相同．