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《矩陣特征值與特征向量的計(jì)算.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第5章矩陣特征值與特征向量的計(jì)算n階方陣A的特征值是特征方程det(A-?E)=0的根.Gerschgorin圓盤定理設(shè)矩陣A=(aij)n?n,記復(fù)平面上以aii為圓心,以ri=為半徑的n個(gè)圓盤為Ri=??????aii??ri?,i=1,2,…,nA的特征向量是齊次線性方程組(A-?E)x=0的非零解.則(1)A的任一特征值至少位于其中一個(gè)圓盤內(nèi);(2)在m個(gè)圓盤相互連通(而與其余n-m個(gè)圓盤互不連通)的區(qū)域內(nèi),恰有A的m個(gè)特征值(重特征值按重?cái)?shù)記).試討論A的特征值的分布.解由A確定的3個(gè)圓盤分別為所以3??1?5-2
2、,R2=???????2?,R3=?????+4??2?xy0-2-4-62345實(shí)際上，?1=4.20308,?2=-0.442931,?3=-3.76010適當(dāng)選取非奇異對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn),則矩陣D-1AD與矩陣A有相同的特征值,且對(duì)角元素相同.而矩陣D-1AD對(duì)應(yīng)的n個(gè)圓盤為如上例,取D=diag(2,1,1),則有可見，R1?是獨(dú)立的,所以可得3.5??1?4.5.§1乘冪法和反冪法§1.1乘冪法乘冪法是用來(lái)求矩陣A按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量的方法.設(shè)A是單構(gòu)矩陣,即A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.A的n個(gè)特征值為
3、?1????2??????n?對(duì)應(yīng)的
4、特征向量為x1,x2,…xn線性無(wú)關(guān).我們要求?1和x1.乘冪法的基本思想是取初始向量v(0)?Rn,作迭代v(k+1)=Av(k)=Ak+1v(0),k=0,1,2,…產(chǎn)生迭代序列?v(k)?.由于x1,x2,…xn線性無(wú)關(guān),從而有v(0)=a1x1+a2x2+…+anxn故有v(1)=Av(0)v(k)=Av(1)v(k)=Akv(0)=a1?1kx1+a2?2kx2+…+an?nkxn(5.1)……………………………………………=a1?1x1+a2?2x2+…+an?nxn=a1?12x1+a2?22x2+…+an?n2xn1.設(shè)
5、?1?>??2??????n?,這時(shí),(5.1)式
6、可寫成若a1?0,則對(duì)充分大的k有因而有或取而特征向量x1?v(k).乘冪法的收斂速度取決于
7、?2/?1
8、的大小.求矩陣A的按模最大的特征值解取v(0)=(1,0)T,計(jì)算v(k)=Av(k-1),結(jié)果如下例2kv1(k)v2(k)v1(k)/v1(k-1)v2(k)/v2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取??0.41263,x1?(0.017451,0.014190)T.對(duì)非零向量v,用max(v)表示v的按
9、絕對(duì)值最大的分量,稱向量u=v/max(v)為向量v的規(guī)范化向量.例如,設(shè)向量v=(2,1,-5,-1)T,則max(v)=-5,u=(-0.4,-0.2,1,0.2)T.可見規(guī)范化向量u總滿足‖u‖?=1.乘冪法的規(guī)范化計(jì)算公式為:任取初始向量u(0)=v(0)?0,計(jì)算由于所以又由其收斂速度由比值
10、?2/?1
11、來(lái)確定,其值越小收斂越快.所以因此,當(dāng)
12、?k-?k-1
13、
14、.412627u1(k)11111u2(k)00.80.8130080.8131360.813138用乘冪法求A的按模最大的特征值和相應(yīng)特征向量.例3設(shè)解取初值u(0)=v(0)=(1,1,1)T,計(jì)算得k?ku(k)0123…101112107.26.5…6.0033526.0016756.000837(1,1,1)T(1,0.8,0.1)T(1,0.75,-0.111)T(1,0.730769,-0.188034)T…………………..(1,0.714405,-0.249579)T(1,0.714346,-0.249790)T(1,0.714316,-0.249895)T可取?1?6.
15、000837,x1?(1,0.714316,-0.249895)T.實(shí)際上,A的3個(gè)特征值分別為?1=6,?2=3,?3=2.2.設(shè)?1=?2=?=?r,且
16、?1?>??r+1??????n?,這時(shí),(5.1)式可寫成若a1,a2,…,ar不全為零,則對(duì)充分大的k有由于a1x1+a2x2+…+arxr是對(duì)應(yīng)?1的特征向量,若仍記為x1,則有:v(k)??1kx1,故前面的結(jié)論仍然成立.3.設(shè)?1=-?2,且
17、?1?=
18、?2
19、>??3
