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1、一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積第三節(jié)向量的數(shù)量積與向量積第八章向量代數(shù)空間解析幾何若有一質點在常力(大小與方向均不變)F的作用下，則位移，1.數(shù)量積的定義及其性質規(guī)定兩向量a,b的正方向之間不超過180o的夾角為向量a與b的夾角，記作(a,b)，或(b,a).由點A沿直線移動到點B，由物理學可知，力F所做的功為FAsB一、兩向量的數(shù)量積定義1兩向量a、b的模及其夾角余弦的連乘積，稱為向量a、b的數(shù)乘積或點積，記為a?b，即由數(shù)量積的定義，上述作功問題可以表示為W=F?s.?abab(a)b
2、aba(b)?稱為向量a在向量b上的投影，記為ab,定義2即類似地所以，兩向量的數(shù)量積也可以用投影表示為交換律結合律分配律由數(shù)量積的定義可知所以當a、b均為非零向量，當a、b中至少有一個是零向量時，我們規(guī)定零向量與任何向量都垂直.即a與b垂直.則cos(a,b)=0.(2)若兩個非零向量a、b互相垂直，即a?b.即有a?b=0；反之，且a?b=0時，則cos(a,b)=0，這樣，兩個向量互相垂直的充要條件是由這個結論可得a?b=0.即因此，兩向量的數(shù)量積等于它們對應坐標乘積之和.利用數(shù)量積的運算
3、規(guī)律有：2.數(shù)量積的坐標計算式均為非零向量，3.兩非零向量夾角余弦的坐標表示式由兩向量的數(shù)量積定義可知:例1已知a=i+j，b=i+k，求a?b,及ab.解由公式可得且與a垂直，因為它在xy坐標面上，向量a=?4i+3j+7k垂直例3求在xy坐標面上與的單位向量.解設所求的向量為b=?x,y,z?.所以z=0.又因為b是單位向量所以即有解之得故所求向量正是a向量分別在i，j，k上的投影，例4求ai,aj及ak.解因為i=?1,0,0?,j=?0,1,0?，k=?0,0,1?，所以這就是說，向量a
4、的坐標ai，aj，ak為簡便起見，今后我們常稱它們依次是a在x，y，z軸上的投影.它的正方向由右手法則確定，定義3設有兩向量a，b，若向量c滿足:(2)c垂直于a，b所確定的平面，則稱向量c為a與b的向量積，記為a×b，即c=a×b.因此向量積也稱為叉積.二、兩向量的向量積由向量積的定義可知，a×b的模等于以a、b為鄰邊的平行四邊形面積.向量積具有下列運算規(guī)律：由向量積的定義可知:(1)i×j=k，j×k=i，k×i=j;(2)兩個非零向量a，b互相平行的充分必要條件是a×b=0.c=a×bab
5、所以sin(a,b)=0.當a，b中至少有一個為零向量時，事實上，若a//b，則(a,b)=0或?，即有因此a?b=0.當a、b為非零向量，反之，且a?b=0時，則sin(a,b)=0.從而斷定(a,b)=0或?，即a//b.我們規(guī)定零向量與任何向量平行.這樣，兩個向量平行的充要條件是這兩個向量的向量積為0.由此可知:利用向量積的運算規(guī)律有：2.向量積的坐標計算式為了便于記憶，我們借用行列式記號，將上式表示為：由于兩個向量a，b平行的充要條件是a?b=0，因此，可將a，b平行的充要條件表示為:當
6、bx，by，bz全不為零時，有我們約定相應的分子為零，例如:當bx，by，bz中出現(xiàn)零時，應理解為:由公式得解例5求以A(2,－2,0)，B(－1,0,1)，C(1,1,2)為頂點的△ABC的面積.例6解由向量積的定義可知△ABC的面積故△ABC的面積若a?b=c，則c同時垂直于a和b，例7求同時垂直于向量和解由向量積的定義可知，因此，與c＝a?b平行的單位向量應有兩個：和且所以a=-(b+c),從而例8已知a+b+c=0，求證證明因為a+b+c=0，同理可證所以有cbba′=′
