數(shù)學(xué)史周亞翔09211154.doc

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1、淺談歷史上三次數(shù)學(xué)危機(jī)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院09(1)班周亞翔09211154中華民族是一個(gè)具有燦爛文化和悠久歷史的民族,在燦爛的文化瑰寶中數(shù)學(xué)在世界也同樣具有許多耀眼的光環(huán)。中國(guó)古代算術(shù)的許多研究成果里面就早已孕育了后來西方數(shù)學(xué)才涉及的思想方法,近代也有不少世界領(lǐng)先的數(shù)學(xué)研究成果就是以華人數(shù)學(xué)家命名的。提到數(shù)學(xué),我有一種感覺,數(shù)學(xué)是自然中最基礎(chǔ)的學(xué)科,它是所有科學(xué)之父,沒有數(shù)學(xué),就不可能有其他科學(xué)的產(chǎn)生。就人類發(fā)展史而言,數(shù)學(xué)在其中起的作用是巨大的,難怪有人說數(shù)學(xué)是人類科學(xué)中最美的科學(xué)。但在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中,并不是那么一帆風(fēng)順的,其中歷史上曾發(fā)生過三大危機(jī),危機(jī)的發(fā)生促使了數(shù)學(xué)本質(zhì)的發(fā)展,因此我們應(yīng)該

2、辨證地看待這三大危機(jī)。第一次危機(jī)無理數(shù)的產(chǎn)生第一次危機(jī)發(fā)生在公元前580~568年之間的古希臘,數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯建立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別:畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而,具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。畢達(dá)哥拉斯定理提出后,其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯約在公元前400年考慮了一個(gè)問題:邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢?他發(fā)現(xiàn)這一

3、長(zhǎng)度既不能用整數(shù),也不能用分?jǐn)?shù)表示,而只能用一個(gè)新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)√2的誕生。小小√2的出現(xiàn),卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰,使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實(shí)際上,這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念這都是一個(gè)極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)的沖突上:任何量,在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰,就是在今天,測(cè)量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí),這個(gè)斷言也毫無例外是正確的!可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的,完全符合常識(shí)的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了

4、!這應(yīng)該是多么違反常識(shí),多么荒謬的事!它簡(jiǎn)直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是,面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī),從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大的風(fēng)波,史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。這個(gè)學(xué)派集宗教、科學(xué)和哲學(xué)于一體,該學(xué)派人數(shù)固定,知識(shí)保密,所有發(fā)明創(chuàng)造都?xì)w于學(xué)派領(lǐng)袖。當(dāng)時(shí)人們對(duì)有理數(shù)的認(rèn)識(shí)還很有限,對(duì)于無理數(shù)的概念更是一無所知,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說的數(shù),原來是指整數(shù),他們不把分?jǐn)?shù)看成一種數(shù),而僅看作兩個(gè)整數(shù)之比,他們錯(cuò)誤地認(rèn)為,宇宙間的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。該學(xué)派的成員希伯索斯根據(jù)勾股定理(西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理)通過邏輯推理發(fā)現(xiàn),邊長(zhǎng)為1的正方形的

5、對(duì)角線長(zhǎng)度既不是整數(shù),也不是整數(shù)的比所能表示。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是“荒謬”和違反常識(shí)的事。它不僅嚴(yán)重地違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條,也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的傳統(tǒng)見解。使當(dāng)時(shí)希臘數(shù)學(xué)家們深感不安,相傳希伯索斯因這一發(fā)現(xiàn)被投入海中淹死,這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。最后,這場(chǎng)危機(jī)通過在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量概念而得到解決。兩個(gè)幾何線段,如果存在一個(gè)第三線段能同時(shí)量盡它們,就稱這兩個(gè)線段是可通約的,否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對(duì)角線,就不存在能同時(shí)量盡它們的第三線段,因此它們是不可通約的。很顯然,只要承認(rèn)不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制,所謂的數(shù)學(xué)危機(jī)也就不復(fù)存在了。我認(rèn)為第一次危機(jī)的產(chǎn)生最大的

6、意義導(dǎo)致了無理數(shù)地產(chǎn)生,比如說我們現(xiàn)在說的,都無法用來表示,那么我們必須引入新的數(shù)來刻畫這個(gè)問題,這樣無理數(shù)便產(chǎn)生了,正是有這種思想,當(dāng)我們將負(fù)數(shù)開方時(shí),人們引入了虛數(shù)i(虛數(shù)的產(chǎn)生導(dǎo)致復(fù)變函數(shù)等學(xué)科的產(chǎn)生,并在現(xiàn)代工程技術(shù)上得到廣泛應(yīng)用),這使我不得不佩服人類的智慧。但我個(gè)人認(rèn)為第一次危機(jī)的真正解決在1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)無理數(shù)的嚴(yán)格定義,因?yàn)閿?shù)學(xué)是很強(qiáng)調(diào)其嚴(yán)格的邏輯與推證性的。第二次危機(jī)微積分工具(無窮大,無窮?。┑诙螖?shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)。十七世紀(jì)微積分誕生后,由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問題,數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面,即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。其實(shí)我翻了一下有關(guān)數(shù)學(xué)史的資料,微積分的雛形早在古希臘時(shí)

7、期就形成了,阿基米德的逼近法實(shí)際上已經(jīng)掌握了無限小分析的基本要素,直到2100年后,牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地——微積分。微積分的主要?jiǎng)?chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過程中,第一步用了無窮小量作分母進(jìn)行除法,當(dāng)然無窮小量不能為零;第二步牛頓又把無窮小量看作零,去掉那些包含它的項(xiàng),從而得到所要的公式,在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式是正確的,但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程卻在邏輯上自相矛盾。焦點(diǎn)是:無窮小量是零還是非零?如果

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