球面距離計(jì)算公式的推導(dǎo)及舉例.doc

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1、球面距離的計(jì)算及其計(jì)算公式在球面上，不在同一直徑上的兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣派的長(zhǎng)度，我們把這段抓長(zhǎng)叫做球面上這兩點(diǎn)間的球面距離．（也叫球面上的短程線或測(cè)地線）如圖1，A、B為球面上不在同一直徑上的兩點(diǎn)，為圓心，⊙為過(guò)A、B的大圓，⊙為過(guò)A、B的任一個(gè)小圓，我們把這兩個(gè)圓畫(huà)在同一個(gè)平面內(nèi)．（見(jiàn)圖1）設(shè)，，球半徑為，半徑為．則有大圓弧長(zhǎng)，小圓弧長(zhǎng)（1）但，即（2）將（2）代入（1）得（3）∵，由（2）式知.由于，故只需證明函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)遞減即可.∴,∵當(dāng)時(shí)，有）∴在單調(diào)遞減,由（3）式不難得到，即.故大圓劣弧最短。球面距離公式：設(shè)一個(gè)球面的半徑為，球面上

2、有兩點(diǎn)、.其中，為點(diǎn)的經(jīng)度數(shù)，、為點(diǎn)的緯度數(shù)，過(guò)、兩點(diǎn)的大圓劣弧所對(duì)的圓心角為，則有（弧度）A、B間的球面距離為：證明：如圖1，⊙與⊙分別為過(guò)A、B的緯度圈，過(guò)A、C的大圓，過(guò)、D的大圓分別為A、B的經(jīng)度圈，而經(jīng)度圈與緯度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，連結(jié)、.則在中，由余弦定理，得：故又，比較上述兩式，化簡(jiǎn)整理得：，從而可證得關(guān)于與的兩個(gè)式子.計(jì)算球面距離的三種類型現(xiàn)行課本中，介紹了球面距離的概念，這方面的習(xí)題很多，同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)普遍感到困難．下面給出這類習(xí)題解答的示范，以供同學(xué)們參考．1．位于同一緯度線上兩點(diǎn)的球面距離例1已知，兩地都位于北緯，又分別位于東經(jīng)和，設(shè)地球半徑為，

3、求，的球面距離．分析：要求兩點(diǎn)，的球面距離，過(guò)，作大圓，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵要求圓心角的大?。ㄒ?jiàn)圖1），而要求往往首先要求弦的長(zhǎng)，即要求兩點(diǎn)的球面距離，往往要先求這兩點(diǎn)的直線距離．解：作出直觀圖（見(jiàn)圖2），設(shè)為球心，為北緯圈的圓心，連結(jié)，，，．由于地軸平面．∴與為緯度，為二面角的平面角．∴（經(jīng)度差）．△中，．△中，由余弦定理，．△中，由余弦定理：，∴．∴的球面距離約為．2．位于同一經(jīng)線上兩點(diǎn)的球面距離例2求東經(jīng)線上，緯度分別為北緯和的兩地，的球面距離．（設(shè)地球半徑為）．解：經(jīng)過(guò)兩地的大圓就是已知經(jīng)線．，．3．位于不同經(jīng)線，不同緯線上兩點(diǎn)的球面距離例3地位于北緯，東經(jīng)，地位于北緯，東經(jīng)，求

4、，兩地之間的球面距離．（見(jiàn)圖4）解：設(shè)為球心，，分別為北緯和北緯圈的圓心，連結(jié)，，．△中，由緯度為知，,．△中，，∴，,∴．注意到與是異面直線，它們的公垂線為，所成的角為經(jīng)度差，利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式．（為經(jīng)度差）．△中，．∴．∴的球面距離約為．