等差數列前n項和最值問題.doc

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1、等差數列前n項和的最值問題問題引入：已知數列的前n項和,求這個數列的通項公式.數列是等差數列嗎?如果是,它的首項與公差分別是什么?解:當n>1時:當n=1時:綜上:,其中:,探究1:一般地,如果一個數列的前n項和為:其中:p.q.r為常數,且p0,那么這個數列一定是等差數列嗎?如果是,它的首項和公差分別是什么?結論:當r=0時為等差,當r0時不是一、應用二次函數圖象求解最值例1：等差數列中，，則n的取值為多少時？最大分析：等差數列的前n項和是關于n的二次函數，因此可從二次函數的圖象的角度來求解。解析：由條件可知，d<0，且，其圖象是開口向下的拋物線，所以在對稱

2、軸處取得最大值，且對稱軸為，而，且6.5介于6與7的中點，從而或時最大。1.已知等差數列{}中=13且=,那么n取何值時,取最大值.解析：設公差為d，由=得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2d=-2,=13-2(n-1),=15-2n,由即得：6.5≤n≤7.5,所以n=7時,取最大值.2.已知an是各項不為零的等差數列，其中a1＞0，公差d＜0，若S10=0，求數列an前　5　項和取得最大值．結合二次函數的圖象，得到二次函數圖象的開口向下，根據圖象關于對稱軸對稱的特點，得到函數在對稱軸處取到最大值，，注意對稱軸對應的自變量應該是整數或離對

3、稱軸最近的整數．an是各項不為零的等差數列，其中a1＞0，公差d＜0，S10=0，根據二次函數的圖象特點得到圖象開口向下，且在n==5時，數列an前5項和取得最大值．二、轉化為求二次函數求最值例2、在等差數列{}中,＝－14,公差d＝3,求數列{}的前n項和的最小值分析：利用條件轉化為二次函數，通過配方寫成頂點式易求解。解析：∵＝＋3d,∴－14＝＋9,＝－23,∴＝－23n＋＝[(n－)－],∴當n=最小時，最小，但由于，介于8與9之間，，即有且，故當n＝8＝－100最小.點評：通過條件求出，從而將轉化為關于n的二次函數，然后配方求解，但要注意的是此處介于8

4、與9之間，但并不能取兩個整數，判斷的標準是對稱軸是否處于兩個整數中點，否則只有一個取值。3.已知等差數列中，前項和，則使有最小值的是（B）4/4A、B、C、D、1.已知an是等差數列，其中a1=31，公差d=﹣8，則數列an前n項和的最大值為　76?。治觯海?）根據數列的首項和公差寫出數列的前n項和，它是關于n的二次函數，二次項的系數小于零，函數存在最大值，結合二次函數的最值得到結果，注意變量n的取值．解答：解：（1）∵an是等差數列，其中a1=31，公差d=﹣8，∴數列an前n項和sn=﹣4n2+35n，根據二次函數的性質，當n=時，前n項和sn取到最大值

5、，∵n∈N，∴n=4，∴前n項和sn的最大值是sn=﹣64+140=76，2.已知一個等差數列的前項的和是，前項的和是.求此等差數列的前項和，并求出當為何值時，最大，最大值是多少？=當N=10或11時，取最大值為1103.已知{an}為等差數列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是設{an}的公差為d，由題意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②聯立得a1=39，d

6、=-2，∴sn=39n+×（-2）=-n2+40n=-（n-20）2+400，故當n=20時，Sn達到最大值400．4.已知等差數列an的公差d＜0，若a3a7=9，a1+a9=10，則該數列的前n項和Sn的最大值為　49?。治觯焊鶕炔顢盗械男再|得到第3項與第7項的和等于首項與第9項的和等于10，又第3項與第7項的積為9，寫出一個兩根為a3和a7關于x的一元二次方程，求出方程的解，且根據等差d小于0可得到a3和a7的值，進而求出數列的首項和公差，根據首項和公差寫出等差數列的前n項和公式，配方后即可求出數列的前n項和Sn的最大值．解答：解：由題意a1+a9=

7、10，得到a3+a7=10，又a3a7=9，得到a3，a7為方程x2﹣10x+9=0的兩根，且d＜0，得到a3=9，a7=1，則d=﹣2，所以a1=13，Sn=﹣n2+14n﹣49+49=（n﹣7）2+49，則當n=7時，該數列的前n項和Sn的最大值為49．故答案為：495.在等差數列an中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值．解：由S17=S9，得到=，即17（2a1+16d）=9（2a1+8d），又a1=25，得：d=﹣=﹣2，所以an=a1+（n﹣1）d=﹣2n+27，則Sn===﹣n2+26n=﹣（n﹣13）2+169，所以當n=13時，Snma

8、x=169．三、在等差數列中,有關的最