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1、引例甲、乙兩射手各打了10發(fā)子彈，每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：問哪一個射手的技術較好？解首先比較平均環(huán)數(shù)甲=8.4，乙=8.4§3.2方差有六個不同數(shù)據(jù)僅有四個不同數(shù)據(jù)再比較穩(wěn)定程度甲乙乙比甲技術穩(wěn)定．進一步比較平均偏離平均值的程度甲：乙：定義若E((X-E(X))2)存在，則稱其為隨機變量X的方差，記為D(X)．D(X)=E((X-E(X))2)稱為X的均方差.方差的概念(X-E(X))2——隨機變量X的取值偏離平均值的情況，是X的函數(shù)，也是隨機變量．E(X-E(X))2——隨機變量X的取值偏離平均值的平均偏離程度—
2、—數(shù)．若X為離散型r.v.，概率分布為：若X為連續(xù)型，概率密度為f(x)．常用的計算方差的公式：D(C)=0D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)特別地，若X，Y相互獨立，則方差的性質若相互獨立，為常數(shù)，則若X，Y獨立對任意常數(shù)C，D(X)?E(X–C)2，當且僅當C=E(X)時等號成立．D(X)=0P(X=E(X))=1稱為X依概率1等于性質1的證明性質2的證明常數(shù)E(X)．性質3的證明當X，Y相互獨立時，注意到性質4的證明：當C=E(X)時，顯然等號成立；當C?E(X)時，例1設X~P(?)，求D(
3、X)．解方差的計算例2設X~B(n，p)，求D(X)．解一仿照上例求D(X)．解二引入隨機變量相互獨立，故例3設X~N(?，?2)，求D(X)．解常見隨機變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p的0-1分布p(1-p)B(n，p)np(1-p)P(?)?分布方差概率密度區(qū)間(a，b)上的均勻分布E(?)N(?，?2)例4已知X，Y相互獨立，且都服從N(0，0.5)，求E(
4、X–Y
5、)．解故例5設X表示獨立射擊直到擊中目標n次為止所需射擊的次數(shù)，已知每次射擊中靶的概率為p，求E(X)，D(X)．解令Xi表示擊中目標i-1次后
6、到第i次擊中目標所需射擊的次數(shù)，i=1，2，…，n．相互獨立，且故標準化隨機變量設隨機變量X的期望E(X)、方差D(X)都存在，且D(X)?0，則稱為X的標準化隨機變量．顯然，僅知隨機變量的期望與方差并不能確定其分布．例6P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025與它們有相同的期望、方差；但是分布卻不同．解但若已知分布的類型，及期望和方差，常能確定分布.例7已知X服從正態(tài)分布，E(X)=1.7，D(X)=3，Y=1–2X，求Y的密度函數(shù)．解例8已知X的密度函數(shù)為：其中A,B是常數(shù)，且E(X)=
7、0.5．求A,B；設Y=X2，求E(Y)，D(Y)．解(1)(2)例9將編號分別為1~n的n個球隨機地放入編號分別為1~n的n只盒子中，每盒一球．若球的號碼與盒子的號碼一致，則稱為一個配對．求配對個數(shù)X的期望與方差．解則不相互獨立．但P10P10P10矩1.K階原點矩Ak=E(Xk)，k=1，2，…而E(
8、X
9、k)稱為X的K階絕對原點矩；2.K階中心矩Bk=E[X-E(X)]k，k=1，2，…而E
10、X-E(X)
11、k稱為X的K階絕對中心矩；3.K+l階混合原點矩E(XkYl)，k，l=0，1，2，…；4.K+l階混合中
12、心矩E{[X?E(X)]k[Y?E(Y)]l}，k，l=0，1，2，…幾個重要不等式在概率論中，有些不等式對概率論的理論與應用起著很重要的作用．馬爾科夫不等式設非負隨機變量X的數(shù)學期望存在，則對任意正數(shù)?，有證明設X為連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為f(x)，則對任意正數(shù)?，有推論1設r.v.X的k階絕對原點矩存在，則對任意??0，有證明因為
13、X
14、非負，由馬爾科夫不等式得若r.v.X的期望和方差存在，則對任意??0，有它有以下等價的形式：推論2切貝曉夫(Chebyshev)不等式證明因為DX存在，所以EX2存在，從而EX存
15、在，由馬爾科夫不等式得得證．設(X，Y)是一個二維隨機變量，若EX2
