自伴邊值問題4學(xué)時.ppt

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1、自伴邊值問題目錄2.1邊值問題2.2Sturn-Lieuville邊值問題2.3Posson邊值問題2.4Helmholtz邊值問題2.5Fredholm邊值問題2.1邊值問題邊值問題是描述物理量隨空間和時間的變化規(guī)律。對于某一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的控制方程、初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是靜電場的邊值問題。已知場域邊界上各點(diǎn)值自然邊界條件參考點(diǎn)電位有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第

2、三類邊界條件已知場域邊界上各點(diǎn)的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，馬氏方程或波動方程通常給定的邊界條件有三種類型：第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊值問題又稱為諾依曼問題。第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄利克雷問題。對于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性問題。由于實(shí)際中定解條件是由實(shí)驗(yàn)得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實(shí)際意義。解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的

3、解是否惟一。解的穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時，所求得的解是否會發(fā)生很大的變化。解的存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。場是客觀存在的，因此Maxwell方程解的存在確信無疑。邊值問題的求解分離變量法行波法等保角變換法控制方程其次邊界條件初始條件2.2Sturn-Lieuville邊值問題不同時為零不同時為零控制方程邊界條件f(x)已知，成為確定性邊值問題，當(dāng)f(x)=kr(x)U(x)，其中r(x)已知，U（?。┪粗Q為廣義特征值問題，當(dāng)r(x)==1時退化為一般特征值問題1.A是線性連續(xù)算子2.A是對稱算子3.A自伴算子4.滿足一定條件

4、后，可以是正定算子2.3Posson邊值問題當(dāng)上式中的p(x)=0,q(x)=0時，方程退化為Poisson方程一般情況下同樣可以證明，Poisson方程也是線性、連續(xù)、對稱、自伴算子,滿足條件的正定算子方程Helmholtz邊值問題當(dāng)上式中的p(x)=0,q(x)=k2時，方程退化為一維Helmholtz方程仍然是線性連續(xù)算子，當(dāng)k2〉0時是下有界算子，所以仍然是自伴邊值問題1-D2-D3-D矢量場矢量邊界條件可以證明，也是Lagrange意義下的自伴算子,而且正定格林定理設(shè)任意兩個標(biāo)量場?及?，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，如下圖示。SV?,?

5、那么，可以證明該兩個標(biāo)量場?及?滿足下列等式式中S為包圍V的閉合曲面，為標(biāo)量場?在S表面的外法線en方向上的偏導(dǎo)數(shù)。略2.5Fredholm邊值問題根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理?；谏鲜竭€可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。設(shè)任意兩個矢量場P與Q，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場P及Q滿足下列等式式中S為包圍V的閉合曲面，面元dS的方向?yàn)镾的外法線方向，上式稱為矢量第一格林定理?；谏鲜竭€可獲得下式：此式稱為矢量第二格林定理。無論何種格林定理，都是說明區(qū)域V中的場與邊界S上的場之間的關(guān)

6、系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。此外，格林定理說明了兩種標(biāo)量場或矢量場之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場的分布特性。格林定理廣泛地用于電磁理論。矩量法的基礎(chǔ)以上均是已知電磁場源分布，求解場的邊值問題當(dāng)需要求解源的分布問題，就必須求解Fredholm邊值問題該算子方程具有Lagrange意義下的自伴特性，而且一定是正定的一、確定性問題二、標(biāo)量特征值問題該算子方程具有Lagrange意義下的自伴特性，而且一定是正定的三、矢量特征值問題該算子方程具有Lagrange意義

7、下的自伴特性，而且一定是正定的并矢格林函數(shù)并矢格林函數(shù)Greenfunction=linearmappingfromscalarsourcetoscalarfieldorscalarpotentialDyadicGreenfunction=linearmappingfromvectorsourcetovectorfield表示在一般情況下，磁場某一個方向分量的大小與電源三個方向的大小都有關(guān)線性連續(xù)對稱自伴正定S-L方程Poisson方程Helmholtz標(biāo)量定解問題Helmholtz矢量定解問題Helmholtz標(biāo)量特征值問題Helmholtz矢量特征

8、值問題Fredholm標(biāo)量確定性問題Fredholm標(biāo)量特征值問題Fredholm矢量特征值問