近世代數(shù)課件-4.4歐氏環(huán).ppt

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1、§4.歐氏環(huán)3.1定義及例3.2主要結(jié)論3.3兩個重要唯一分解環(huán)3.4小結(jié)3.1定義在整數(shù)環(huán)和數(shù)域上一元多項式環(huán)中,帶余除法起著重要的作用,這個定理在一般的整環(huán)中并不成立,例如:二元多項式環(huán).因此,需要定義可以做“帶余除法”的環(huán).定義一個整環(huán)R叫做一個歐氏環(huán)，假如（ⅰ）存在一個映射(非零元所作成的集合)（ⅱ）給定了的一個不等于零的元a，的任何元b都可以寫成的形式，這里:或是例1整數(shù)環(huán)是一個歐氏。因為：是一個適合條件（ⅰ）的映射。給了整數(shù)，任何整數(shù)b是可以寫成的形式，這里。3.2主要結(jié)論定理1任何歐氏R一定是一個主理想環(huán)，因而一定是一個唯一分解環(huán)。

2、證明我們看R的任一個理想A,我們需要證明A是一個主理想。如果A=0,它是一個主理想(0)如果包含不等于零的元。由歐氏環(huán)的定義，存在一個映射，在這個映射之下A的每一個不等于零的元有一個象，那么是N的非空子集,中一定有一個最小的(??)，因此我們可以找到A的一個不等于零的元a，使得對于A的任何不等于零的元來說，都有再一次歐氏環(huán)的定義，A的每一個元b都可以寫成的形式，這里因為a和b都屬于A，也屬于A。若是，那么有一個不等于零的元r，適合條件與a的取法矛盾。這樣，3.3兩個重要唯一分解環(huán)由于上面的例同這個定理我們立刻有：定理2整數(shù)環(huán)是一個主理想環(huán)，因而是

3、一個唯一分解環(huán)。另一中常見的歐氏環(huán)就是一個域上的多項式環(huán)。我們先證明一個引理。引理假定是整環(huán)R上的一元多項式環(huán)，的元的最高系數(shù)是R的一個單位。那么的任意多項式都可以寫成的形式，這里或是或是的次數(shù)小于的次數(shù)n。證明(帶余乘法的實施:逐步消去最高項)若是或是的次數(shù)小于n，那么我們?nèi)【托辛?。假定，我們?nèi)?，那么或的次?shù)小于m。假定或是的次數(shù)已經(jīng)小于n，那么取就行了。假如的次數(shù)還大于n，用同樣的方法我們可以得到或是的次數(shù)小于。這樣下去，我們總可以得到或是的次數(shù)小于n。證完。由這個引理我們很容易證明定理3一個域上的一元多項式環(huán)是一個歐氏環(huán)。證明利用多項式的次

4、數(shù)我們顯然可以規(guī)定一個合于條件的映射，就是域的每一個不等于零的元都是一個單位，所以由引理，每一個都可以寫成的形式，這里或是或是的次數(shù)小于的次數(shù)n。證完。3.4小結(jié)作業(yè):P141:1歐氏環(huán)主理想環(huán)唯一分解環(huán)反例1唯一分解環(huán)不是主理想環(huán),反例2主理想環(huán)不是歐氏環(huán),復(fù)雜,不能引用到本書里來.