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《文檔LC無阻尼受迫(交流)振蕩電路.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、我們已經(jīng)知道，將帶電電容C與電感L串聯(lián)，無電阻、無電源，電路接通后會產(chǎn)生正弦交變電流（參見《LC無阻尼自由振蕩電路》）?，F(xiàn)在要說的是，如果電路中還有個正弦交變電源，而電容初始時不帶電，又會怎樣呢？由基爾霍夫定律，得uL+uC=e=Emsin(ωt+φ)（注：Em是電動勢最大值，ω為電動勢圓頻率，φ為初相位）根據(jù)電感上電壓、電流間的微分關(guān)系，有uL=L*di/dt則得到uC=e-uL=Emsin(ωt+φ)-L*di/dtduC=d[Emsin(ωt+φ)-L*di/dt]=Emωcos(ωt+φ)*dt-L*d2i/dt根據(jù)電容上電流、電壓間的微分
2、關(guān)系，有i=C*duC/dt則i=C*[Emωcos(ωt+φ)*dt-L*d2i/dt]/dti=EmCωcos(ωt+φ)-LC*d2i/dt2LC*d2i/dt2+i=EmCωcos(ωt+φ)這是一個二階線性常系數(shù)非齊次微分方程。相對有些難解。為解此微分方程，須介紹兩個定理：定理一一個二階線性非齊次微分方程的通解，等于其對應(yīng)的齊次方程的通解加上原方程的一個特解。（為避免與電流混淆，虛數(shù)單位用j表示）定理二若y=y1+y2j是二階線性非齊次微分方程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=S(x)+T(x)j的解，則y1是微分方
3、程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=S(x)的一個解，y2是微分方程P(x)d2y/dx2+Q(x)dy/dx+R(x)y=T(x)的一個解。根據(jù)定理一，先解它對應(yīng)的齊次方程。它對應(yīng)的齊次方程為：LC*d2i/dt2+i=0用特征方程法，其特征方程為：LCx2+1=0解得x1=(1/LC)1/2j,x2=-(1/LC)1/2j則齊次方程對應(yīng)的通解為：（為避免與電容混淆，積分變量用A'、B'表示）i=A'e(1/LC)^(1/2)jt+B'e-(1/LC)^(1/2)jt由歐拉公式ejx=jsinx+cosx得i=A'{jsin
4、[(1/LC)1/2t]+cos[(1/LC)1/2t]}+B'{jsin[-(1/LC)1/2t]+cos[-(1/LC)1/2t]}i=A'jsin[(1/LC)1/2t]+A'cos[(1/LC)1/2t]-B'jsin[(1/LC)1/2t]+B'cos[(1/LC)1/2t]i=(A'-B')jsin[(1/LC)1/2t]+(A'+B')cos[(1/LC)1/2t]令A(yù)=(A'-B')j,B=A'+B'，則齊次方程通解為i=Asin[(1/LC)1/2t]+Bcos[(1/LC)1/2t]而現(xiàn)在要求特解的方程，右端的自由項為一余弦函數(shù)
5、，不易進行處理。如果嘗試把它化成指數(shù)函數(shù)，就會容易一些。要將余弦函數(shù)化為指數(shù)函數(shù)，要用到歐拉公式ejx=jsinx+cosx，其中jsinx為虛部，cosx為實部。根據(jù)定理二，可以直接在自由項后加一個帶虛數(shù)的正弦函數(shù)，構(gòu)成指數(shù)函數(shù)，求出特解后取實部便是。則先解如下的方程：LC*d2i/dt2+i=EmCωcos(ωt+φ)+EmCωjsin(ωt+φ)LC*d2i/dt2+i=EmCω[jsin(ωt+φ)+cos(ωt+φ)]LC*d2i/dt2+i=EmCωe(ωt+φ)jLC*d2i/dt2+i=EmCωeωjt+φjLC*d2i/dt2+i
6、=EmCωeφjeωjt為方便記錄，令EmCωeφj=k，則LC*d2i/dt2+i=keωjt其自由項是一個指數(shù)函數(shù)，其指數(shù)的系數(shù)為ωj，要看它是否與特征方程根相等。于是分三種情況。情況一：ωj不是特征方程根（即ω≠(1/LC)1/2）觀察方程L*d2i/dt2+i=keωjt的右端，指數(shù)函數(shù)前的整式為零次，則左端若提出了eωjt，也應(yīng)為零次。明顯i提出eωjt后的次數(shù)一定要高于二階導(dǎo)數(shù)d2i/dt2的次數(shù)，因此i為零次整式與指數(shù)函數(shù)eωjt的積。設(shè)i=aeωjt，代入方程，得LC*(aeωjt)''+aeωjt=keωjt-LCω2aeωjt+
7、aeωjt=keωjt-LCω2a+a=k(1-LCω2)a=ka=k/(1-LCω2)所以微分方程LC*d2i/dt2+i=keωjt的特解為：i=aeωjti=k/(1-LCω2)*eωjt前面令EmCωeφj=k，則i=EmCωeφj*eωjt/(1-LCω2)i=EmCωeφj+ωjt/(1-LCω2)i=EmCωe(ωt+φ)j/(1-LCω2)根據(jù)歐拉公式ejx=jsinx+cosx，有i=EmCω[jsin(ωt+φ)+cos(ωt+φ)]/(1-LCω2)i=EmCω/(1-LCω2)*cos(ωt+φ)+EmCω/(1-LCω2)
8、*jsin(ωt+φ)根據(jù)定理二，微分方程LC*d2i/dt2+i=EmCωcos(ωt+φ)的一個特解為：i=EmCω/
