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《簡(jiǎn)化剩余系與歐拉函數(shù).ppt》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、§3.3簡(jiǎn)化剩余系與歐拉函數(shù)一、基本概念定義1設(shè)R是模m的一個(gè)剩余類(lèi),若有a?R,使得(a,m)=1,則稱(chēng)R是模m的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余類(lèi)。即與模m互質(zhì)的剩余類(lèi)。注:若R是模的簡(jiǎn)化剩余類(lèi),則R中的數(shù)都與m互素。例如,模4的簡(jiǎn)化剩余類(lèi)有兩個(gè):R1(4)={?,?7,?3,1,5,9,?},R3(4)={?,?5,?1,3,7,11,?}。定義2對(duì)于正整數(shù)k,令函數(shù)?(k)的值等于模k的所有簡(jiǎn)化剩余類(lèi)的個(gè)數(shù),稱(chēng)?(k)為Euler函數(shù)。容易驗(yàn)證:?(2)=1,?(3)=2,?(4)=2,?(7)=6。注:?(m)就是在m的一個(gè)完全剩余系中與m互素的整數(shù)的個(gè)數(shù),且定義3對(duì)于正整數(shù)m,從模m的每個(gè)簡(jiǎn)化剩
2、余類(lèi)中各取一個(gè)數(shù)xi,構(gòu)成一個(gè)集合{x1,x2,?,x?(m)},稱(chēng)為模m的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系(或簡(jiǎn)稱(chēng)為簡(jiǎn)化系)。注:由于選取方式的任意性,模m的簡(jiǎn)化剩余系有無(wú)窮多個(gè)。例如,集合{9,?5,?3,?1}是模8的簡(jiǎn)化剩余系;集合{1,3,5,7}也是模8的簡(jiǎn)化剩余系.集合{1,3,5,7}稱(chēng)為最小非負(fù)簡(jiǎn)化剩余系。二、主要性質(zhì)定理1整數(shù)集合A是模m的簡(jiǎn)化剩余系的充要條件是:①A中含有?(m)個(gè)整數(shù);②A中的任何兩個(gè)整數(shù)對(duì)模m不同余;③A中的每個(gè)整數(shù)都與m互素。說(shuō)明:簡(jiǎn)化剩余系是某個(gè)完全剩余系中的部分元素構(gòu)成的集合,故滿(mǎn)足條件2;由定義1易知滿(mǎn)足條件3;由定義3易知滿(mǎn)足條件1。定理2設(shè)a是整數(shù),(
3、a,m)=1,B={x1,x2,?,x?(m)}是模m的簡(jiǎn)化剩余系,則集合A={ax1,ax2,?,ax?(m)}也是模m的簡(jiǎn)化剩余系。證明顯然,集合A中有?(m)個(gè)整數(shù)。由于(a,m)=1,對(duì)于任意的xi(1?i??(m)),xi?B,有(axi,m)=(xi,m)=1。故A中的每一個(gè)數(shù)都與m互素。而且,A中的任何兩個(gè)不同的整數(shù)對(duì)模m不同余。因?yàn)?,若有x?,x???B,使得ax??ax??(modm),那么,x??x??(modm),于是x?=x??。由以上結(jié)論及定理1可知集合A是模m的一個(gè)簡(jiǎn)化系。注:在定理2的條件下,若b是整數(shù),集合{ax1?b,ax2?b,,?,ax?(m)?b}
4、不一定是模m的簡(jiǎn)化剩余系。例如,取m=4,a=1,b=1,以及模4的簡(jiǎn)化剩余系{1,3}。但{2,4}不是模4的簡(jiǎn)化剩余系。定理3設(shè)m1,m2?N,(m1,m2)=1,又設(shè)分別是模m1與m2的簡(jiǎn)化剩余系,則A={m1y?m2x;x?X,y?Y}是模m1m2的簡(jiǎn)化剩余系。證明由第二節(jié)定理3推論可知,若以X?與Y?分別表示模m1與m2的完全剩余系,使得X?X?,Y?Y?,則A?={m1y?m2x;x?X?,y?Y?}是模m1m2的完全剩余系。因此只需證明A?中所有與m1m2互素的整數(shù)的集合R即模m1m2的簡(jiǎn)化剩余系是集合A。若m1y?m2x?R,則(m1y?m2x,m1m2)=1,所以(m1
5、y?m2x,m1)=1,于是(m2x,m1)=1,(x,m1)=1,x?X。同理可得到y(tǒng)?Y,因此m1y?m2x?A。這說(shuō)明R?A。另一方面,若m1y?m2x?A,則x?X,y?Y,即(x,m1)=1,(y,m2)=1。由此及(m1,m2)=1得到(m2x?m1y,m1)=(m2x,m1)=1(m2x?m1y,m2)=(m1y,m2)=1。因?yàn)閙1與m2互素,所以(m2x?m1y,m1m2)=1,于是m2x?m1y?R。因此A?R。從而A=R。推論設(shè)m,n?N,(m,n)=1,則?(mn)=?(m)?(n)。證由定理3知,若x,y分別通過(guò)m,n的簡(jiǎn)化剩余系,則my?nx通過(guò)mn的簡(jiǎn)化剩余
6、系,即有my?nx通過(guò)?(mn)個(gè)整數(shù)。另一方面,x〔nx〕通過(guò)?(m)個(gè)整數(shù),y〔my〕通過(guò)?(n)個(gè)整數(shù),從而my?nx通過(guò)?(m)?(n)個(gè)整數(shù)。故有?(mn)=?(m)?(n)。注:可以推廣到多個(gè)兩兩互質(zhì)數(shù)的情形。定理4設(shè)n是正整數(shù),p1,p2,?,pk是它的全部素因數(shù),證設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式是由定理3推論得到對(duì)任意的素?cái)?shù)p,?(p?)等于數(shù)列1,2,?,p?中與p?互素的整數(shù)的個(gè)數(shù),從而定理得證。注:由定理4可知,?(n)=1的充要條件是n=1或2??紤]有重素因子和沒(méi)有重素因子的情形。三、應(yīng)用舉例注意:有重素因子時(shí),上述不等式中等號(hào)不成立!例1設(shè)整數(shù)n?2,證明:即在數(shù)列1,2,?
7、,n中,與n互素的整數(shù)之和是證設(shè)在1,2,?,n中與n互素的個(gè)數(shù)是?(n),a1,a2,?,a?(n),(ai,n)=1,1?ai?n?1,1?i??(n),則(n?ai,n)=1,1?n?ai?n?1,1?i??(n),因此,集合{a1,a2,?,a?(n)}故a1?a2???a?(n)=(n?a1)?(n?a2)???(n?a?(n)),從而,2(a1?a2???a?(n))=n?(n),因此a1?a2???a?(n)與集合{n