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《2014北約自主招生數(shù)學(xué)試題及解答.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、2014年北約自主招生數(shù)學(xué)試題?1.圓心角為60的扇形面積為6?,求它圍成的圓錐的表面積.2.將10個(gè)人分成3組,一組4人,兩組各3人,有多少種分法.23.如果fx()lg(?x?2axa?)的值域?yàn)镽,求a的取值范圍.a??2bfa()2()fb4.設(shè)f()?,且ff(1)1,(4)7??,求f(2014).3315.已知xy???1且xy,都是負(fù)數(shù),求xy?的最值.xy22?x116.已知fx()arctan??c在(?,)上是奇函數(shù),求c.14?x442014年北約自主招生·數(shù)學(xué)試題－1?7.證明tan3是無(wú)理數(shù).8
2、.已知實(shí)系數(shù)二次函數(shù)fx()與gx()滿足3()fx??gx()0和fx()??gx()0都有雙重實(shí)根,如果已知fx()0?有兩個(gè)不同的實(shí)根,求證gx()0?沒(méi)有實(shí)根.7169.aa,,?,a是等差數(shù)列,M?{a?a?a
3、1????ijk13},問(wèn):0,,是否可以同時(shí)在1213ijk23M中,并證明你的結(jié)論.n10.已知xx,,?,x?R,且xx?x?1,求證:(2?x)(2?x)?(2?x)(21)??.12n?12n12n2014年北約自主招生·數(shù)學(xué)試題－22014年北約自主招生試題參考答案1?21.【解】設(shè)扇形的半徑
4、為r,則由6???r,得r?6.23?于是扇形的弧長(zhǎng)為l???62?,其即為圓錐的底面周長(zhǎng),于是圓錐的底面半徑為1,32所以底面面積為????1,也所以圓錐的表面積為S?67?????.334CCC10742.【解】由題知所有分組方法有N??2100種.2A2223.【解】由題意u?x?2axa?的值域包含區(qū)間(0,??),則u?x?2axa?與x有交點(diǎn),2故???(2)aa?4?0,解得a?1或a?0.421??ff(4)2(1)?4.【解】由ff(1)1,(4)7??得ff(2)?()??3;33124??ff(1)2(
5、4)?*ff(3)?(?)?,由數(shù)學(xué)歸納法可5推導(dǎo)得fn()2?n?1,nN?,33所以f(2014)4027?.5.【解】由xy??0,0可知,xy?????1
6、xy
7、1
8、
9、
10、
11、1??x?y?,2(
12、
13、
14、
15、)xy?11所以
16、xy
17、
18、
19、
20、
21、?x?y??,即xy?(0,],444111令t??xy(0,],則易知函數(shù)yt??在(0,1]上遞減,所以其在(0,]上遞減,4t41117于是xy?有最小值4??,無(wú)最大值.xy446.【解】奇函數(shù)f(0)0?,故c??arctan2.2tan?tan??tan?7.【證明】由三角公式
22、tan2??,tan(???)?,21tan??1tan???tan????????若tan3是有理數(shù),則tan6,tan12,tan24為有理數(shù),再由tan6和tan24可得tan30為有?3?理數(shù),這與tan30?為無(wú)理數(shù)矛盾!因此,tan3是無(wú)理數(shù).3228.【證】由題可設(shè)3()fx?gx()?axb(?),()fx?gx()?axb(?),其中aa??0,0,112212112222則fx()?[(axb?)?axb(?)],()gx?[(axb?)?3(axb?)],1222112244由fx()0?有兩個(gè)不同的實(shí)
23、根,則必有aa,異號(hào),且aa??0,12121222此時(shí)fx()?[(a?ax)?2(ab?abxab)??ab],121122112242222即??4(ab?ab)?4(a?a)(ab?ab)??4aab(?b)?0,所以bb?,1122121122121212122故此時(shí)觀察gx()?[(axb?)?3(axb?)]可知,11224aa,3?同號(hào),且aa??30,bb?,故gx()0?恒成立,即證明gx()0?沒(méi)有實(shí)根.1212127169.【解】不可以同時(shí)在M中,下面給予證明.假設(shè)0,,同時(shí)在M中,232014年北
24、約自主招生·數(shù)學(xué)試題－3*設(shè)a??akd(1??k13,k?N),其中d為公差,則k*M?{3a???(ijkd)
25、1????ijk13}{3?amd?
26、6?m?36,mN?}??3a??xd0,?7?7??(y??xd),?2于是存在正整數(shù)6??xyz,,36,使得?3,a??yd從而??2?()z??xd16?16??3?3a??zd?3yx?21也所以?,由于21,32互質(zhì),且y??xz,x為整數(shù),則有
27、yx??
28、21,
29、zx??
30、32,zx?32716但
31、zx??
32、36630??,矛盾!假設(shè)錯(cuò)誤,即證明0,,不可以同
33、時(shí)在M中.2310.【證】(一法:數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)n?1時(shí),左邊2?x?21??21??右邊,不等式成立;1*k②假設(shè)nkk?(?1,k?N)時(shí),不等式(2?x)(2?x)?(2?x)(21)??成立.12k那么當(dāng)nk??1時(shí),則xx?xx?1,由于這k?1個(gè)正數(shù)不能同時(shí)都大于1,也不能同
