桿件結(jié)構(gòu)的有限元法直接剛度法.ppt

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1、第二章桿件結(jié)構(gòu)的有限元法2-1引言桿的特點(diǎn)：只能承受拉力或壓力變形和位移的關(guān)系：對于桿件系統(tǒng)：式中剛度矩陣節(jié)點(diǎn)力向量節(jié)點(diǎn)位移向量桿件系統(tǒng)存在一個(gè)整體剛度（矩陣）。知道了這個(gè)剛度就可以由系統(tǒng)外力求出各節(jié)點(diǎn)的位移。這就是本小結(jié)應(yīng)掌握的一個(gè)重要概念。如何求出桿系的剛度矩陣呢？2-2彈簧系統(tǒng)的剛度矩陣一單個(gè)彈簧的剛度矩陣彈簧系統(tǒng)是由節(jié)點(diǎn)（鉸鏈）把一系列彈簧連接起來的系統(tǒng)。如果把彈簧系統(tǒng)拆開，可以得到彈簧和鉸鏈。從其中取出任意一個(gè)彈簧，彈簧的兩端會受到來自節(jié)點(diǎn)（鉸鏈）的作用力。單個(gè)彈簧兩端節(jié)點(diǎn)的位移和力向量的關(guān)系是：為了求出，將上圖看作是兩個(gè)簡

2、單的系統(tǒng)，如下圖所示，然后合成。（1）只有節(jié)點(diǎn)1可以變形，節(jié)點(diǎn)2固定因?yàn)樗裕?）只有節(jié)點(diǎn)2可以變形，節(jié)點(diǎn)1固定這時(shí)（3）疊加（1）（2），就得到與原式問題一樣的結(jié)構(gòu)。疊加結(jié)果為：作用于節(jié)點(diǎn)1的合力作用于節(jié)點(diǎn)2的合力或?qū)懗删仃囆问缴鲜娇梢院唽憺槠渲袉卧?jié)點(diǎn)力向量單元?jiǎng)偠染仃噯卧?jié)點(diǎn)位移列向量上式的特點(diǎn)彈簧上的節(jié)點(diǎn)力是來自于鉸鏈的彈簧上的節(jié)點(diǎn)位移的值是唯一的單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)對稱奇異二組合彈簧的剛度矩陣對于圖示的兩個(gè)彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)。節(jié)點(diǎn)位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量也可以寫成為了得到剛度矩陣，可以分成三步來做。（1），只允許節(jié)點(diǎn)1有位移，可以得到

3、由靜力平衡條件有由于，沒有力作用于節(jié)點(diǎn)3，因此（2）讓，，可以類似的得到（3）最后讓，，可以得到（4）合成上式可以簡寫為上述過程可以用節(jié)點(diǎn)力平衡來完成。為此，先寫出單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力向量的關(guān)系式：然后根據(jù)節(jié)點(diǎn)外力和內(nèi)力（來自彈簧力）的平衡條件，可以得到：節(jié)點(diǎn)1節(jié)點(diǎn)2節(jié)點(diǎn)3所得結(jié)果與前面的一樣。實(shí)際操作時(shí)：根據(jù)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)總數(shù)形成一個(gè)空的階矩陣根據(jù)單元?jiǎng)偠染仃囍性厮鶎?yīng)的節(jié)點(diǎn)號碼，把元素放入上述矩陣中去求和。例如：合成后的結(jié)果三方程求解（約束條件的引入）前述剛度矩陣奇異，方程無解。原因：含有剛體位移。如果要求解彈性變形，必須施加約束條

4、件，比如則方程成為求解上式，可以得到系統(tǒng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移。求出節(jié)點(diǎn)位移后，可以求出單元內(nèi)力：單元內(nèi)力=單元?jiǎng)偠龋◤椈蓛啥说南鄬ξ灰疲?單元1的內(nèi)力：-單元2的內(nèi)力：由此總結(jié)出用有限元方法求解彈簧系統(tǒng)受力問題的基本步驟：（1）形成每個(gè)單元的剛度矩陣；（2）由各個(gè)單元的剛度矩陣按節(jié)點(diǎn)號疊加成整個(gè)系統(tǒng)的剛度矩陣；（3）引入約束條件；（4）以節(jié)點(diǎn)位移為未知量求解線性代數(shù)方程組；（5）用每個(gè)單元的力-位移關(guān)系求得單元力。[例]如圖所示彈簧系統(tǒng)由3根彈簧組成，k1=1200kN/m，k2=1800kN/m，k3=1500kN/m，節(jié)點(diǎn)1和4固定，在

5、節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3處施加軸向力10kN和20kN，求節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)3的位移和節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)4處的作用力。解：（1）單元分劃一個(gè)彈簧為一個(gè)單元，一共3個(gè)單元，4個(gè)節(jié)點(diǎn)。（2）形成每個(gè)單元的剛度矩陣對于彈簧1-2（1單元）對于彈簧2-3（2單元）對于彈簧3-4（3單元）（3）按節(jié)點(diǎn)力平衡條件，將單元?jiǎng)偠染仃嚡B加成整個(gè)系統(tǒng)的總體剛度矩陣（4）求解方程組從已知條件：u1=0，u4=0，F(xiàn)1=?，F(xiàn)4=?；F2=10kN，F(xiàn)3=20kN，u2=?，u3=?可知邊界條件的特點(diǎn)為：節(jié)點(diǎn)位移給定，力待求；力給定，位移待求。因?yàn)閡1和u4已經(jīng)給出，所以只需列出

6、關(guān)于求解u2和u3的兩個(gè)方程。為此，將原方程組簡化為解得u2=0.0103603m，u3=0.0117117m。將u1、u2、u3、和u4代入原系統(tǒng)方程，可解得節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)4的作用力校核2-3桿件系統(tǒng)的有限元法一鉸支桿系的有限元計(jì)算格式桿結(jié)構(gòu)：由直桿在桿端鉸接而成。特點(diǎn)：鉸接點(diǎn)不能承受力矩必須對桿結(jié)構(gòu)施加約束，以防止它產(chǎn)生剛體運(yùn)動桿只能承受軸向力整體桿結(jié)構(gòu)在外力作用下不垮掉載荷作用在節(jié)點(diǎn)上桿可以水平，垂直，或傾斜。（1）桿單元的剛度矩陣桿的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：其中所以剛度為：（2）局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚄U在平面上方向任意，單元節(jié)點(diǎn)

7、位移為了便于求解，建立兩個(gè)坐標(biāo)系：基于桿單元的局部坐標(biāo)系和用于描述桿系的總體坐標(biāo)系。單元局部坐標(biāo)系，沿桿長方向，與總體坐標(biāo)系的夾角為，垂直于桿長方向。在節(jié)點(diǎn)1處：；在節(jié)點(diǎn)2處：局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍榛颉獥U件不能承受與桿長垂直的力；——桿件兩端不會在的作用下，發(fā)生與桿長垂直方向的位移。（3）局部坐標(biāo)系和總體坐標(biāo)系的關(guān)系為了根據(jù)節(jié)點(diǎn)的力平衡條件建立桿系總體剛度矩陣，必須將局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換到總體坐標(biāo)系下。節(jié)點(diǎn)1處：兩邊同乘，有同理，由可得合起來寫作：類似，可以得到節(jié)點(diǎn)2處的力關(guān)系。由此可得單元力在局部坐標(biāo)系和總體坐標(biāo)系

8、件的關(guān)系是或其中：，為矢量變換矩陣節(jié)點(diǎn)位移也是矢量，其在局部坐標(biāo)系和總體坐標(biāo)系中的變換關(guān)系與力的變換關(guān)系相同根據(jù)力和位移的變換關(guān)系，就可以把局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?，轉(zhuǎn)換成總體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?。?）總體坐標(biāo)系下