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1、幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法遞推數(shù)列常常是高考命題的熱點(diǎn)之一.所謂遞推數(shù)列,是指由遞推公式所確定的數(shù)列.由相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系給出的遞推公式稱為一階遞推公式，由相鄰三項(xiàng)的關(guān)系給出的遞推公式稱為二階遞推公式，依次類推.等差數(shù)列和等比數(shù)列是最基本的遞推數(shù)列.遞推數(shù)列基本問(wèn)題之一是由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式.下面是常見(jiàn)的遞推數(shù)列及其通項(xiàng)公式的求法．1 一階線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題 一階線性遞推數(shù)列主要有如下幾種形式：（1）這類遞推數(shù)列可通過(guò)累加法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列{f(n)}可求前n項(xiàng)和). 當(dāng)為常數(shù)時(shí)
2、，通過(guò)累加法可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．而當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，則為二階等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式應(yīng)當(dāng)為形式，注意與等差數(shù)列求和公式一般形式的區(qū)別，后者是，其常數(shù)項(xiàng)一定為０．（2）這類遞推數(shù)列可通過(guò)累乘法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列{g(n)}可求前n項(xiàng)積). 當(dāng)為常數(shù)時(shí)，用累乘法可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）；這類數(shù)列通?？赊D(zhuǎn)化為，或消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為二階遞推式.［例１］已知數(shù)列中，,求的通項(xiàng)公式．［解析］解法一．轉(zhuǎn)化為型遞推數(shù)列．∵∴又，故數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為２，公比為２的等比數(shù)列．∴，即．解法二．轉(zhuǎn)化為型遞推數(shù)列．∵=2xn-1+1(n
3、≥2) ?、佟 ?2xn+1 ?、冖冢?，得(n≥2)，故｛｝是首項(xiàng)為x2-x1=2，公比為２的等比數(shù)列，即，再用累加法得．解法三．用迭代法．當(dāng)然,此題也可用歸納猜想法求之，但要用數(shù)學(xué)歸納法證明．4幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法［例２］已知函數(shù)的反函數(shù)為求數(shù)列的通項(xiàng)公式.[解析]由已知得，則．令=,則.比較系數(shù)，得.即有．∴數(shù)列｛｝是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，故．［評(píng)析］此題亦可采用歸納猜想得出通項(xiàng)公式，而后用數(shù)學(xué)歸納法證明之．（4）若取倒數(shù),得，令，從而轉(zhuǎn)化為（1）型而求之.（5）；這類
4、數(shù)列可變換成，令，則轉(zhuǎn)化為(1)型一階線性遞推公式.［例３］設(shè)數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式．［解析］∵，兩邊同除以，得．令，則有．于是，得，∴數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，即，從而．［例４］設(shè)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．［解析］設(shè)用代入，可解出．∴是以公比為-2，首項(xiàng)為的等比數(shù)列．∴，即．（6）4幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法這類數(shù)列可取對(duì)數(shù)得，從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列型遞推數(shù)列.2 可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或一些特殊數(shù)列的二階遞推數(shù)列?。劾担菰O(shè)數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式．［解析］由可得設(shè)故即用累加法得 或［例６］在數(shù)
5、列求數(shù)列的通項(xiàng)公式．［解析］可用換元法將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列．令使數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列(待定)．即∴對(duì)照已給遞推式，有即的兩個(gè)實(shí)根．從而∴ ?、倩颉 、谟墒舰俚?；由式②得．4幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法消去．［例７］在數(shù)列求．［解析］由 ①，得 ②．式②+式①，得，從而有．∴數(shù)列是以６為其周期．故==-1．3 特殊的n階遞推數(shù)列［例８］已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式．［解析］∵ ?、佟 啖冖冢伲茫喙视袑⑦@幾個(gè)式子累乘，得又［例9］數(shù)列｛｝滿足，求數(shù)列｛｝的同項(xiàng)公式．［解析］由①，
6、得②．式①－式②，得，或，故有.∴,.將上面幾個(gè)式子累乘，得，即．∵也滿足上式，∴．以上就是常見(jiàn)的一些遞推數(shù)列及其通項(xiàng)公式的一般求法．這些知識(shí)是拓展性的，超出了課本的要求范圍，但它們?cè)诟呖碱}中時(shí)常會(huì)見(jiàn)到，有時(shí)是以證明題形式出現(xiàn)，如果比較系統(tǒng)地掌握了這些知識(shí)，解答這類題目就容易把握．4幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法
