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1、三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)四、小結(jié)思考題二、基礎(chǔ)解系及其求法解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組的性質(zhì)第四節(jié)線性方程組的解結(jié)構(gòu)設(shè)有齊次線性方程組若記（1）一、齊次線性方程組解的性質(zhì)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)則上述方程組（1）可寫成向量方程若為方程的解，則１．解向量的概念稱為方程組(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．一、?齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1解的性質(zhì)性質(zhì)1（1）的兩個(gè)解的和還是（1）的解.性質(zhì)2（1）的一個(gè)解的倍數(shù)還是（1）的解.性質(zhì)3（1）的解的任一線性組合還是（1）的解.（1）齊次線性方程組(1)
2、一組解向量，若滿足ii）(1)的任一解向量可由線性表出.i）線性無關(guān)；則稱為(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．2基礎(chǔ)解系定義3基礎(chǔ)解系的存在性定理在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于，其中n是未知量的個(gè)數(shù)，推論若齊次線性方程組(1)的系數(shù)矩陣的秩為r,則(1)的任意n－r個(gè)線性無關(guān)的解向量都是(1)的基礎(chǔ)解系．5齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)若為齊次線性方程組（1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則（1）的全部解（或通解）為附：求基礎(chǔ)解系的一般方法對(duì)方程組(1)的系數(shù)矩陣A作初等行變換，化A為行
3、最簡(jiǎn)形．不妨設(shè)初等行變換第一步：寫出方程組(1)的一般解：第二步：第三步：為自由未知量.代入自由未知量，用組數(shù)得出方程組(1)的解：向量組 即為方程組(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系.練習(xí)求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．例1求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換化階梯陣令 得令 得原方程組的解為原方程的基礎(chǔ)解系為二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)設(shè)線性方程組則齊次線性方程組（3）（4）稱為（3）的導(dǎo)出組．1解的性質(zhì)性質(zhì)1非齊次線性方程組（3）的兩個(gè)解 的差為其導(dǎo)出組（4）的解．性質(zhì)2非齊
4、次線性方程組（3）的一個(gè)解 與其導(dǎo)出組（4）的一個(gè)解的和仍為（3）的解．注非齊次線性方程組的兩個(gè)解的和及一個(gè)解的倍數(shù)一般不再是該非齊次線性方程組的解.2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理如果 是非齊次線性方程組（3）的一個(gè)從而，方程組（3）的一般解為為導(dǎo)出組（4）的一個(gè)基礎(chǔ)解系．那么方程組（3）的任一個(gè)解都可以表成解，ξ是其導(dǎo)出組的全部解推論非齊次線性方程組（3）在有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導(dǎo)出（4）只有零解.求出(3)的導(dǎo)出組(4)的一個(gè)基礎(chǔ)解系3求一般線性方程組(3)的一般解的步驟第二步：第三
5、步：寫出(3)的全部解(通解)若有無窮多個(gè)解，先寫出(3)的一個(gè)特解對(duì)(3)的增廣矩陣作初等行變換化階梯陣,第一步：根據(jù)階梯陣判斷(3)是否有解．例2求解方程組解：對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換由令即得原方程組的一個(gè)特解得由 ，原方程組的導(dǎo)出組與下方程組同解原方程組有解，并有令，得即為導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．令，得故原方程組的通解為.思考題思考題解答解故原方程組的通解為１．齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法四、小結(jié)（1）對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換，將其化為最簡(jiǎn)形四、小結(jié)由于令（2）得出，同時(shí)也可知方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解
6、系含有個(gè)線性無關(guān)的解向量．故為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.()()nA
7、brAr==()()nA
8、brAr<=２．線性方程組解的情況
