帕斯卡蝸線(Pascal s limacon)的性質(zhì)和應(yīng)用.pdf

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1、帕斯卡蝸線（Pascal’slimacon）的性質(zhì)和應(yīng)用邵俊霖（200911234011）姜迪（200911234017）摘要：根據(jù)帕斯卡蝸線的定義，我們推導(dǎo)出了它的極坐標(biāo)方程，研究了其圖形、性質(zhì).同時(shí)，基于反演變換和垂足曲線的概念，我們又對(duì)它和圓錐曲線的關(guān)系以及它在柴油機(jī)中的應(yīng)用做了簡(jiǎn)要介紹.關(guān)鍵詞：帕斯卡蝸線；反演變換；垂足曲線；柴油機(jī)0引言.在用英語(yǔ)寫成的書中，有一種曲線被叫做Pascal’slimacon,但這里的limacon卻不是一個(gè)英語(yǔ)單詞，而是一個(gè)法語(yǔ)單詞，意思為“蝸?！?蝸牛是法國(guó)人愛吃的一種佳肴,這里的意思是指曲線的形狀像蝸

2、牛.如果直譯,這種曲線的名稱就是“帕斯卡的蝸?！?作為數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，我們把它譯成帕斯卡蝸線.從帕斯卡發(fā)現(xiàn)這種曲線開始，對(duì)它的研究就一直沒(méi)有中斷過(guò)，而帕斯卡蝸線的性質(zhì)在柴油機(jī)中的應(yīng)用，又再次證明了數(shù)學(xué)在生產(chǎn)和生活中的巨大作用.1模型的建立.【1】定義1:從圓周上任意一定點(diǎn)O引直線OS，交圓于Q（圖0），從點(diǎn)Q向Q的兩側(cè)截取長(zhǎng)度為b(b為任意常數(shù))的線段QP和QP,當(dāng)直線OS繞O旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P、P組成的1212軌跡就叫做帕斯卡蝸線.下面推導(dǎo)帕斯卡蝸線的極坐標(biāo)方程.設(shè)圓直徑為a，取點(diǎn)O為極點(diǎn)，圓的一條直徑OA所在的射線為極軸建立極坐標(biāo)系.又設(shè)P(?，?)、

3、P112（?，?）為軌跡上的點(diǎn)，相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（?，20?），且PQ=QP=b.連接OP,則211?=OP=OQQP+=?+b.因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓上,故有?=acos?,這樣?=acos?+b；1110011仿此可得P的軌跡方程?=acos?-b.故點(diǎn)P、P的軌跡方程可合寫為：?=acos?±b.2212因?yàn)橛?±?代替?,用—?代替?，則方程?=acos?+b和?=acos?-b互換，所以這兩個(gè)方程表示同一曲線，因此，帕斯卡蝸線的極坐標(biāo)方程可寫作：?=acos?+b.(1.1)特別地,當(dāng)a=b時(shí)，有?=a(cos?+1)（1.2），由此確定的曲

4、線叫做心臟線，它是帕斯卡蝸線的特例.下面描繪蝸線的圖形.1)對(duì)稱性:-?代替?,方程(1.1)不變,故蝸線關(guān)于極軸對(duì)稱.b2)曲線與極軸的交點(diǎn):當(dāng)cos?=-(b￡a)時(shí),?=0,所以當(dāng)b￡a時(shí),曲線過(guò)a極點(diǎn);當(dāng)?=0和?時(shí),?=+ab和-+ab.因此,除極點(diǎn)外,蝸線還和極軸相交于(a+b,0)和（-+ab,?）.3)范圍和變化趨勢(shì)：當(dāng)cos?=1時(shí)，?取最大值ab+，cos?=-1時(shí)，?取最小值ba-；當(dāng)?由0變到?時(shí)，?由ba+減小到ba-，當(dāng)?由?變到2?時(shí)，?又由ba-增大到ba+；?繼續(xù)變動(dòng)，?重復(fù)取得以前所取得的值（即蝸線的周期為2

5、?）.4)列表：由于曲線對(duì)稱于極軸，只要取0到?內(nèi)的一些值，并計(jì)算出?的一些值，列成下表：?0???2?4?5?432336?a+b0.7a+b0.5a+bbb-0.5ab-0.7ab-0.8a以表中??,的對(duì)應(yīng)值為點(diǎn)的極坐標(biāo)描出個(gè)點(diǎn)，并作出這些點(diǎn)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)，用平滑曲線把這些點(diǎn)連起來(lái)，便得到帕斯卡蝸線的圖形（圖1）.22帕斯卡蝸線與圓錐曲線的關(guān)系.【2】這里,我們先引入反演的概念.定義2:如圖（2）所示，設(shè)O是平面內(nèi)的一個(gè)2定點(diǎn),R是一個(gè)確定的正數(shù).對(duì)于這平面內(nèi)的任一2點(diǎn)A,在射線OA上取點(diǎn)B,使

6、OA

7、·

8、OB

9、=R，B就叫做A的反演對(duì)

10、應(yīng)點(diǎn)，簡(jiǎn)稱反點(diǎn).我們把任意點(diǎn)2A到它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的變換，叫做反演；定點(diǎn)O叫做反演極，常數(shù)R叫做反演冪.根據(jù)定義得出,當(dāng)B是A的反點(diǎn)時(shí),A也是B的反點(diǎn).在反演變換下,反演極沒(méi)有對(duì)應(yīng)點(diǎn).在極坐標(biāo)系中,設(shè)反演極O為極點(diǎn),則點(diǎn)A(,)??的反點(diǎn)是B(,)??,根據(jù)定義得到112R?=??,=11?對(duì)于任意圖形C,由它的每一點(diǎn)的反點(diǎn)所組成的圖形C,叫做C的反演圖形,簡(jiǎn)稱為C1的反形.當(dāng)C是C的反形時(shí),C也是C的反形.11一般說(shuō)來(lái),對(duì)于同一條曲線,選取不同的點(diǎn)做反演極,反演后得到的曲線的形狀也不相同.反演變換能把簡(jiǎn)單的曲線與復(fù)雜的曲線聯(lián)系起來(lái),又能從已知曲線

11、導(dǎo)出新的曲線,是一種很有用的幾何變換.嚴(yán)格說(shuō)來(lái),上面所說(shuō)的反演變換應(yīng)叫做順?lè)囱葑儞Q.還有一種你反演變換,是把點(diǎn)A變到OA反向延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B,使

12、OAOB

13、

14、

15、等于定值.同一點(diǎn)A的順?lè)囱輰?duì)應(yīng)點(diǎn)B和逆11反演對(duì)應(yīng)點(diǎn)B關(guān)于反演極對(duì)稱.因此,只要把順?lè)囱葑儞Q的問(wèn)題搞清楚了,在做一個(gè)中心對(duì)1稱變換,就知道你反演變換的情形了.那么,帕斯卡蝸線和圓錐曲線究竟有什么關(guān)系呢?我們知道,以焦點(diǎn)為極點(diǎn)的圓錐曲線極坐標(biāo)方程可以寫成p?=,1+?cos?其中,當(dāng)?>1時(shí)為雙曲線,?=1時(shí)為拋物線,?<1時(shí)為橢圓(特別地,當(dāng)?=0時(shí)為圓).以22R極點(diǎn)為反演極,任意正數(shù)R

16、為反演冪,點(diǎn)(,)??變?yōu)?,)?,因而所得曲線的方程是?32R?=(1+?cos)?.p2R記=bl,?=a,p方程化為?=acos?+b.它所表示