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1、《直線和雙曲線的交點個數(shù)問題》教學(xué)設(shè)計昌黎匯文二中李小慶一、教學(xué)目的：1.通過多媒體演示讓學(xué)生掌握求直線與雙曲線的交點個數(shù)的方法；2.使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合在解決問題中起到的重要作用。二、教學(xué)重點和難點：1.直線與雙曲線的交點個數(shù)的討論；2.數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中的應(yīng)用三、教學(xué)過程：1、復(fù)習(xí)提問：雙曲線的方程和性質(zhì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程頂點漸近線焦點在x軸上焦點在y軸上思考問題：求雙曲線與下列直線的交點的個數(shù)：①y=x+1②y=-x+1③④⑤y=1.2x+1⑥y=-1.2x+1⑦y=1⑧y=2x+1⑨y=-2x+1老師提示：在求雙曲線與直線的交點個
2、數(shù)時，請說出它們的位置關(guān)系。①與②的答案：1直線與雙曲線相交（直線與漸近線平行）。③與④的答案：1直線與雙曲線相切。⑤與⑥的答案：2直線與雙曲線相交，交點在一支上。⑦的答案：2直線與雙曲線相交，交點在兩支上。⑧與⑨的答案：0直線與雙曲線相離。（以上內(nèi)容都有多媒體演示）總結(jié)：當(dāng)直線與雙曲線相交（直線與漸近線平行）或直線與雙曲線相切時直線與雙曲線有一個公共點。例1：論直線y=kx+1與雙曲線C:公共點的個數(shù)。6分析：直線y=kx+1過定點（0，1），解決這個問題的關(guān)鍵在于找什么？就是找與雙曲線有一個交點的直線。通過多媒體演示得到答案解：⑴k=±1
3、或k=±時L與C有一個公共點；⑵有兩個交點：在左支上時1＜k＜在右支上時–＜k＜-1在兩支上時-1＜k＜1所以k∈(–,-1)∪(-1,1)∪(1,)時L與C有兩個公共點。⑶k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時L與C沒有公共點。例2：討論過（1，1）點的直線與雙曲線公共點的個數(shù)。解：⑴直線x=1和直線y=-x+2與雙曲線有一個交點;6⑵k∈(-∞,-1)時有兩個交點在右支上;k∈(-1,1)時有兩個交點在兩支上;⑶k∈(1,+∞)時沒有公共點。例3：討論直線y=kx與雙曲線公共點的個數(shù)。解：⑴沒有和雙曲線只有一個交點的直線；6⑵k∈(-1,1)
4、時直線與雙曲線有兩個交點在兩支上;⑶k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時直線與雙曲線沒有公共點。例4：討論過（1，0）點的直線與雙曲線公共點的個數(shù)。解：⑴直線x=1和直線y=x-1和直線y=-x+1與雙曲線有一個公共點;⑵兩個交點在右下支上k＜-1在兩支上-1＜k＜1在右上支上k＞1所以k∈(–∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)時有兩個公共點。(3)6例5：已知雙曲線的右焦點為F，過點F傾斜角為的直線與雙曲線的右支只有一個交點，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D答案：C例7：已知試求使方程有解的k的取值范圍。解：有解等價于函數(shù)
5、y=x-ak＞0與y=＞0圖象有交點所以k≤-1或0＜k＜1四、總結(jié)：過一點和雙曲線只有一個交點的直線的條數(shù)過中心0過漸近線上一點且不是中心2過雙曲線外一點且不在漸近線上4過雙曲線上一點3過雙曲線內(nèi)一點2一、作業(yè)：過P（1，0）的直線與雙曲線有且只有一個公共點，則斜率k的取值范圍。答案：或拓展：（1）答案：6（2）答案：（3）小結(jié)：消元轉(zhuǎn)化為討論某個一元二次方程解的個數(shù)問題。但要注意二次項系數(shù)分a=0與a≠0兩種情形的討論,只有當(dāng)a≠0時才可以用Δ來確定解的個數(shù)。但有時利用數(shù)形結(jié)合可以簡化運算。6
