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1、數(shù)形結(jié)合,動靜互易(一)???在解決代數(shù)問題時,要注意其幾何意義,通過幾何圖形的直觀反映題設(shè)條件與結(jié)論之間的聯(lián)系,反之在解決幾何問題時,應(yīng)注意其間的數(shù)量關(guān)系,有時結(jié)合代數(shù)方法,可彌補直覺想像的不足.例1.正數(shù)a、b、c、A、B、C滿足a+A=b+B=c+C=k,???求證:aB+bC+cA
2、M+S△QLN+S△RLM
3、由于W不定它表示的是動圓,而其上點(x,y)應(yīng)是直線2x+y-1=0上方(含直線)的點,為使W最小,即需此動圓半徑最小,此即o′到直線ι的距離.???故當(dāng)時,???即為所求最小值.???為求出何時取到最小值,只需再解方程組???得;即此時,函數(shù)取最小值.例3.解不等式:分析:本題是道高考的容易題,但實際上當(dāng)年考生得分并不高,錯誤的原因就在于絕大多數(shù)同學(xué)只會用分類討論的方法解此無理不等式,而在討論時,又分類不全,錯誤率很高,其實只要有數(shù)形結(jié)合的思想,利用圖象求解,本題還是很容易的.《解》作與y=x+1的圖象于同一坐標(biāo)系,解方程組??得出交點A(
4、2,2),注意到B(,0),結(jié)合題意可能不等式的解為??x∈(2)(待續(xù))?《競賽園地》??柯西不等式(一).《內(nèi)容》設(shè)a1,a2,…an和b1,b2…bn是兩組實數(shù),則??(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+…+anbn)2??(當(dāng)且僅當(dāng)時,等式成立)??證明??方法1(利用排序不等式)??(1)若a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0顯然成立;??(2)若,且a1≤a2≤…≤an,????,且b1≤b2≤…≤bn,記??由排序原理有??x1xn+1+x2xn+2+…+xnx2n+xn+1x
5、1+…+x2n·xn??≤x1·x1+x2·x2+…+x2n·x2n.即于是??進而有????(∵
6、a+b
7、≤
8、a
9、+
10、b
11、)即??式中等號成立的充要條件是x1=x2=…=x2n,即????方法2,構(gòu)造二次函數(shù)??顯然f(x)≥0,因而其判別式△≤0,即??,即,當(dāng)且僅當(dāng)時成立.《應(yīng)用》例1.利用柯西不等式證明??(1)(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd;??(2)若a、b、c∈R+,則????(3)若a、b、c∈R+,且ab+bc+cd=1,則.??(4).??證明??(1)∵(ab+cd)(ac+bd)??等式當(dāng)且僅當(dāng)且a=d即b=
12、c,a=d時成立.??(2)????????=(1+1+1)2=9當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等式成立.??(3)注意到??(a2+b2+c2)2=(a2+b2+c2)·(b2+c2+a2)≥(ab+bc+ca)2=1,??∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥1+2=3,又由a+b+c>0,故??,當(dāng)且僅當(dāng)時,等式成立.??(4)注意到??競賽中的平面幾何基礎(chǔ)???小精靈(來了北大后,發(fā)現(xiàn)忘了不少高中的東西,但一旦重新拾起,就會有更深認識基于同樣的原因,高中的你請和我們一起來看看初中的很“基礎(chǔ)”很“基礎(chǔ)”的東西)??照常理
13、,我似乎應(yīng)給你們再加點“料”,但見到這么多梅理、瓦理,再加那么幾個公式,定理似乎沒有什么必要了,你有足夠的內(nèi)存,時間,練習(xí)去記住每一個嗎?仔細看每一個定理,它們都可以用正/余弦定理或更基本的思路來證明。它們不過是一些快捷方式,快捷鍵罷了。給你這么多公式唯一的目的是告訴你,由某些基本定理(余/正弦),可推導(dǎo)出三角形中存在的許多恒定的關(guān)系。???比奧賽,就是比怎樣去推導(dǎo)、理解、運用這些關(guān)系。記住正/余弦,以后靠你自己吧,不過,多說一句,玩電腦的人喜歡快捷方式。???僅僅會初中平面幾何中的定理,遠遠不能適應(yīng)數(shù)學(xué)競賽的需要,現(xiàn)在介紹幾個在現(xiàn)行初中課本
14、刪去,但高中數(shù)學(xué)競賽很需要的基礎(chǔ)定理?!抖ɡ?》正弦定理???△ABC中,設(shè)外接圓半徑為R,則???證明概要???如圖1,過B作直徑BA',則∠A'=∠A,∠BCA