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1、近世代數(shù)復習思考題一、基本概念與基本常識的記憶(一)填空題1.剩余類加群Z12有_________個生成元.2、設群G的元a的階是n,則ak的階是________.3.6階循環(huán)群有_________個子群.4、設群中元素的階為,如果,那么與存在整除關(guān)系為———。5.模8的剩余類環(huán)Z8的子環(huán)有_________個.6.整數(shù)環(huán)Z的理想有_________個.7、n次對稱群Sn的階是——————。8、9-置換分解為互不相交的循環(huán)之積是————。9.剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S={[0],[2],[4]},則S的單位元是____________.10.中的所有可逆元是:_____________
2、_____________.11、凱萊定理的內(nèi)容是:任一個子群都同一個________同構(gòu)。12.設為循環(huán)群,那么(1)若的階為無限,則同構(gòu)于___________,(2)若的階為n,則同構(gòu)于____________。13.在整數(shù)環(huán)中,=__________________;14、n次對稱群Sn的階是_____.15.設為群的子群,則是群的子群的充分必要條件為___________。16、除環(huán)的理想共有____________個。17.剩余類環(huán)Z5的零因子個數(shù)等于__________.18、在整數(shù)環(huán)Z中,由{2,3}生成的理想是_________.19.剩余類環(huán)Z7的可逆元有__
3、________個.20、設Z11是整數(shù)模11的剩余類環(huán),則Z11的特征是_________.21.整環(huán)I={所有復數(shù)a+bi(a,b是整數(shù))},則I的單位是__________.22.剩余類環(huán)Zn是域n是_________.23、設Z7={0,1,2,3,4,5,6}是整數(shù)模7的剩余類環(huán),在Z7[x]中,(5x-4)(3x+2)=________.24.設為群,,若,則_______________。25、設群G={e,a1,a2,…,an-1},運算為乘法,e為G的單位元,則a1n=___.26.設A={a,b,c},則A到A的一一映射共有__________個.27、整數(shù)環(huán)
4、Z的商域是________.28.整數(shù)加群Z有__________個生成元.29、若是一個有單位元的交換環(huán),是的一個理想,那么是一個域當且僅當是————————。30.已知為上的元素,則=__________。31.每一個有限群都與一個__________群同構(gòu)。32、設I是唯一分解環(huán),則I[x]與唯一分解環(huán)的關(guān)系是——————。二、基本概念的理解與掌握。(二)選擇題1.設集合A中含有5個元素,集合B中含有2個元素,那么,A與B的積集合A×B中含有()個元素。A.2B.5C.7D.102.設A=B=R(實數(shù)集),如果A到B的映射:x→x+2,x∈R,則是從A到B的()A.滿射而非
5、單射B.單射而非滿射C.一一映射D.既非單射也非滿射3.設Z15是以15為模的剩余類加群,那么,Z15的子群共有()個。A.2B.4C.6D.84、G是12階的有限群,H是G的子群,則H的階可能是()A5;B6;C7;D9.5、下面的集合與運算構(gòu)成群的是()A{0,1},運算為普通的乘法;B{0,1},運算為普通的加法;C{-1,1},運算為普通的乘法;D{-1,1},運算為普通的加法;6、關(guān)于整環(huán)的敘述,下列正確的是()A左、右消去律都成立;B左、右消去律都不成立;C每個非零元都有逆元;D每個非零元都沒有逆元;7、關(guān)于理想的敘述,下列不正確的是()A在環(huán)的同態(tài)滿射下,理想的象是
6、理想;B在環(huán)的同態(tài)滿射下,理想的逆象是理想;C除環(huán)只有兩個理想,即零理想和單位理想D環(huán)的最大理想就是該環(huán)本身.8.整數(shù)環(huán)Z中,可逆元的個數(shù)是()。A.1個B.2個C.4個D.無限個9.設M2(R)=a,b,c,d∈R,R為實數(shù)域按矩陣的加法和乘法構(gòu)成R上的二階方陣環(huán),那么這個方陣環(huán)是()。A.有單位元的交換環(huán)B.無單位元的交換環(huán)C.無單位元的非交換環(huán)D.有單位元的非交換環(huán)10.設Z是整數(shù)集,σ(a)=,,則σ是R的().A.滿射變換B.單射變換C.一一變換D.不是R的變換11、設A={所有實數(shù)x},A的代數(shù)運算是普通乘法,則以下映射作成A到A的一個子集的同態(tài)滿射的是(??????
7、).A、x→10xB、x→2xC、x→
8、x
9、D、x→-x.12、設是正整數(shù)集上的二元運算,其中(即取與中的最大者),那么在中()A、不適合交換律B、不適合結(jié)合律C、存在單位元D、每個元都有逆元.13.設={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},則中與元(123)不能交換的元的個數(shù)是(??????)A、1?B、2??C、3D、4.14、設為群,其中G是實數(shù)集,而乘法,這里為中固定的常數(shù)。那么群中的單位元和元的逆元分別是()A、0和;B、1和0;C、和;D、