2、E于點(diǎn)Q，連接PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形?！郙N=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴,,即,∴（2）由（1）知:，(3)取MN的中點(diǎn)G，連接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，∴∠AGB即為二面角α的平面角。又，所以由余弦定理有。故所求二面角。ABCDEFGHPMN253.如圖，邊長均為a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角為。點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BF上，若AM=FN,(1)求證:MN//面BCE;(2)求證:MNAB;(3)求MN的最小值.解析：(1)如圖,作MG//AB交BC于G,N
3、H//AB交BE于H,MP//BC交AB于P,連PN,GH,易證MG//NH,且MG=NH,故MGNH為平行四邊形,所以MN//GH,故MN//面BCE;-19-(2)易證AB面MNP,故MNAB;(3)即為面ABCD與ABEF所成二面角的平面角,即,設(shè)AP=x,則BP=a－x,ＮP=a－x, 所以：，故當(dāng)時(shí)，ＭＮ有最小值．254.如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=x,BN=y,（1）求MN的長(用x,y表示)；（2）求MN長的最小值，該最小值是否是異面直線AC，BF之間的距離。ABFECD
4、PNM解析：在面ABCD中作MPAB于P，連PN，則MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：PN2=，在中，MN=；（2）MN，故當(dāng)，時(shí)，MN有最小值。且該最小值是異面直線AC，BF之間的距離。255.已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)P是DD1的中點(diǎn)，且截面EAC與底面ABCD成450角，AA1=2a，AB=a，（1）設(shè)Q是BB1上一點(diǎn)，且BQa，求證：DQ面EAC；（2）判斷BP與面EAC是否平行，并說明理由？（3）若點(diǎn)M在側(cè)面BB1C1C及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AMBP，試確定動(dòng)點(diǎn)M所在的位置。PABCDA1B1C1D1QEON解
5、析：（1）證：首先易證ACDQ，再證EODQ（O為AC與BD的交點(diǎn)）在矩形BDD1B1中，可證EDO與-19-BDQ都是直角三角形，由此易證EODQ，故DQ面EAC得證；（2）若BP與面EAC平行，則可得BP//EO，在三角形BPD中，O是BD中點(diǎn)，則E也應(yīng)是PD中點(diǎn)，但PD=DD1=a，而ED=DO=BD=a，故E不是PD中點(diǎn)，因此BP與面EAC不平行；（3）易知，BPAC，要使AMBP，則M一定在與BP垂直的平面上，取BB1中點(diǎn)N，易證BP面NAC，故M應(yīng)在線段NC上。256.如圖，已知平行六面體的底面ABCD是菱形，，（1）證明：；（II）假定CD=2，，記面為α，面CBD
6、為β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；（III）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使？請給出證明.解析：（I）證明：連結(jié)、AC，AC和BD交于.，連結(jié)，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD，可證，，故，但AC⊥BD，所以，從而； ?。↖I）解：由（I）知AC⊥BD，，是二面角α—BD—β的平面角，在中，BC=2，，， ∵∠OCB=60°，，，故C1O=，即C1O=C1C，作，垂足為H，∴點(diǎn)H是.C的中點(diǎn)，且，所以;（III）當(dāng)時(shí)，能使證明一：∵，所以，又，由此可得，∴三棱錐是正三棱錐.-19-257.設(shè)相交于G.，，且，所以如圖，已知正方體ABCD—A1B
7、1C1D1的棱長為a，求異面直線A1C1與BD1的距離.解析：本題的關(guān)鍵是畫出A1C1與BD1的公垂線，連B1D1交A1C1于O，在平面BB1D1內(nèi)作OM⊥BD1，則OM就是A1C1與BD1的公垂線，問題得到解決.解連B1D1交A1C1于O，作OM⊥BD1于M.∴A1C1⊥B1D1，BB1⊥A1C1，BB1∩B1D1＝B1.∴A1C1⊥平面BB1D1.∴A1C1⊥OM，又OM⊥BD1.∴OM是異面直線A1C1與BD1的公垂線.在直角ΔBB1D1中作B1N⊥BD1于N.∵BB1·B
