用重心概念求交比類問題

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1、2010年第9期中學(xué)數(shù)學(xué)研究33用重心概念求交比類問題廣州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與教育軟件學(xué)院(510006)鄒宇1引言FE．DF：}C．用物理方法(特別是力學(xué))來解決數(shù)學(xué)問題，阿分析：最開始不知道任何一個(gè)點(diǎn)的質(zhì)量，可先給基米德是最早的典范．吳文俊院士在上世紀(jì)60年代點(diǎn)4賦質(zhì)量1(這是任意的，也可以是2或者0．5，也于文獻(xiàn)¨中談到了重心概念在幾何中的應(yīng)用，指出可以先給其它的點(diǎn)賦質(zhì)量)．“應(yīng)用力學(xué)的重心概念可以不僅可以簡(jiǎn)化某些幾何根據(jù)重心概念，為了使得D是A、的重心，必須命題的證明，很自然地得到所要的結(jié)論，而且也能夠給點(diǎn)日賦質(zhì)量2，因AD=2DB；此時(shí)D的

2、質(zhì)量為3，自然而然地發(fā)現(xiàn)某些幾何事實(shí)”．后來，朱德祥教授如圖3所示(各點(diǎn)的質(zhì)量標(biāo)在字母的前面)．也用重心概念探討了一些幾何問題．事實(shí)上，早求得了的質(zhì)量為2，因1A在1827年，德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家莫比烏斯BE=3EC，為了使得E是曰、(AugustFerdinandMobius，1790—1868)在他的《重C的重心，由重心概念，C的質(zhì)心計(jì)算》一書中就專門提到了用重心概念解題．量必須為6，于是E的質(zhì)量為本文旨在介紹重心概念的基本原理和用重心概8．這樣，、B、c、D、E的質(zhì)量都已求出．2B8E6C念解幾何題的基本方法，分類歸納了一些能簡(jiǎn)便解決

3、的問題，以便一些數(shù)學(xué)愛好者在了解到重心概念要求出AF朋，得先求圖3后，能體會(huì)用重心概念來處理幾何問題的簡(jiǎn)捷之處．出F的質(zhì)量．下面考慮整個(gè)△ABC的重心．2重心概念的基本原理一方面，因D是A、B的重心，所以AABC的重心稱力學(xué)中有位置、有質(zhì)量、但沒有形狀大小的點(diǎn)應(yīng)該位于DC上，是D、C的重心；另一方面，因是為質(zhì)點(diǎn)．曰、c的重心，所以AABC的重心也應(yīng)該位于AE上，設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、，質(zhì)量分別為口、b，若將這兩是4、E的重心．于是，AABC的重心只能是DC與AE個(gè)質(zhì)點(diǎn)放置于一條質(zhì)地均勻的細(xì)棒(質(zhì)量忽略不的交點(diǎn)F，其質(zhì)量為9(=1+2+6)．計(jì))的兩端，

4、由力學(xué)原理可知，兩質(zhì)點(diǎn)、組成的一到此，可知F既是A、的重心，也是D、C的重個(gè)整體(系統(tǒng))的重心必位于和的連線上．若心，再次利用重心概念，可求得AF：FE=8：1，DF：在處有一個(gè)支撐點(diǎn)，則相當(dāng)于處有一個(gè)的質(zhì)量FC=6：3=2：1，這可直接由圖3觀察得到．為0+b的點(diǎn)，如圖1．由例1可知，用重心概念解幾何題可分為三步：的位置可以這樣確定：aa+bk●—————————·——1————————————-———·_．(1)根據(jù)幾何題中已知的幾何關(guān)系(共線線段由杠桿平衡原理可知，=AMB比)根據(jù)重心概念逐一給點(diǎn)賦予質(zhì)量；bMB，則AM：MB=b0，或者圖

5、1(2)確定一個(gè)整體(三角形或其他)的重心的說分AB的線段比與A、的位置，根據(jù)重心概念求出整體的重心的質(zhì)量，使得某質(zhì)量成反比．幾何中的點(diǎn)只有A一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)或多個(gè)點(diǎn)的重心，此時(shí)要特別注意位置，沒有大小也沒有質(zhì)量．交點(diǎn)是由哪兩條直線構(gòu)成的；要想用重心概念來處理幾何(3)分析已求得的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量間的數(shù)量關(guān)系，問題，就得給幾何中的點(diǎn)賦予質(zhì)量使它們變成質(zhì)點(diǎn)．如何給根據(jù)重心概念轉(zhuǎn)化為幾何題的結(jié)論．3三角形內(nèi)三種交比問題的求解方法它們賦予質(zhì)量呢?BEC下面從例1可以看到，用重心概念解幾何題的基本例1如圖2：，在AABC圖一2思想是根據(jù)已知共線線段比給點(diǎn)賦質(zhì)量，

6、再求出“新的線段比”．所求的“新的線段比”是兩線相交后中，AD=2DB，BE=3EC，AE、CD交于點(diǎn)F，求AF交點(diǎn)分線段的比，故稱之為“交比”．34中學(xué)數(shù)學(xué)研究2010年第9期在三角形中，為了敘述方便，稱連接頂點(diǎn)與對(duì)邊AABC的重心．但在賦質(zhì)量之前得先求出D分BC的上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)的連線為“塞瓦線”，如例1中的比及E分CA的比．利用內(nèi)切圓的性質(zhì)容易求得CDAE和CD；稱連接不同邊上的異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)的連=CE=1，BD=2，AE=3．然后仿照例1的方法給線為“截線”．在這里，要求“塞瓦線”和“截線”都在點(diǎn)賦質(zhì)量，如圖7，易求得DF：FA=2：9．

7、三角形的內(nèi)部．這樣，在三角形內(nèi)部，根據(jù)交點(diǎn)的構(gòu)還有更多類似的幾何題．成，兩線相交可分為三種：“塞瓦線”交“塞瓦線”、用重心概念解幾何題，每次賦“塞瓦線”交“截線”以及“截線”交“截線”．質(zhì)量只能確定一個(gè)重心，當(dāng)題二3．1“塞瓦線”與“塞瓦線”構(gòu)成的交比目中涉及到共線線段的連比這種交比類是很常見的，例1就屬于這種類型．時(shí)，需要根據(jù)不同的交點(diǎn)進(jìn)行用重心概念處理這一類問題時(shí)，關(guān)鍵是要根據(jù)已知兩次或多次賦質(zhì)量．圖7條件及待求的線段比來適當(dāng)?shù)亟o點(diǎn)賦質(zhì)量，使得兩例4如圖8，在AABCA“塞瓦線”的交點(diǎn)是所屬三角形的重心．中，D是AC的中點(diǎn)，E、F是BC下面的

8、例子體現(xiàn)了給點(diǎn)賦質(zhì)量的靈活性．的三等分點(diǎn)，BD分別交AE、例2在AABC中，D、EA，于點(diǎn)、Ⅳ．求M：MN：分別是AB、BC上的一點(diǎn)，如