資源描述：
《高階線性微分方程.pdf》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、高階線性微分方程2dydy?P(x)?Q(x)y?f(x)二階線性微分方程2dxdx當(dāng)f(x)?0時，二階線性齊次微分方程當(dāng)f(x)?0時，二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程(n)(n?1)y?P(x)y???P(x)y??P(x)y?f(x).1n?1n特點未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次冪本節(jié)只討論二階線性微分方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)所得概念和結(jié)論很容易推廣到高階方程的情形一、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):y???P(x)y??Q(x)y?0(1)定理1如果函數(shù)y(x)與y(x)是方程(1)的兩個12解,那末y?Cy?Cy也是(1)的解.（C
2、,C是常112212數(shù)）y?Cy?Cy一定是通解嗎？問題:1122定義：設(shè)y,y,?,y為定義在區(qū)間I內(nèi)的n個12n函數(shù)．如果存在n個不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)x在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立ky?ky???ky?0，1122nn那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)．否則稱線性無關(guān)例如當(dāng)x?(??,??)時，x?x2xe，e,e線性無關(guān)221，cosx,sinx線性相關(guān)y(x)1特別地:若在I上有?常數(shù)，y(x)2則函數(shù)y1(x)與y2(x)在I上線性無關(guān).定理2：如果y(x)與y(x)是方程(1)的兩個線性12無關(guān)的特解,那么y?Cy?Cy就是方程(1)的1122通解.例如y???y?0,y1?c
3、osx,y2?sinx,y且2?tanx?常數(shù),y?Ccosx?Csinx.12y12.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):非齊線性方程的任何兩個解之差是相應(yīng)齊方程的解*定理3設(shè)y是二階非齊次線性方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)(2)的一個特解,Y是與(2)對應(yīng)的齊次方程(1)的通*解,那么y?Y?y是二階非齊次線性微分方程(2)的通解.定理4設(shè)非齊次方程(2)的右端f(x)是幾個函數(shù)之和,如y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?f(x)12**而y與y分別是方程,12y???P(x)y??Q(x)y?f(x)1y???P(x)y??Q(x)y?f(x)2**的特解,那么
4、y1?y2就是原方程的特解.解的疊加原理***定理5若y?y?jy是12y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?jf(x)12的特解則*y是y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的特解11*y是y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的特解22即特解的實部是實部方程的特解特解的虛部是虛部方程的特解二、降階法與常數(shù)變易法1.齊次線性方程求線性無關(guān)特解------降階法設(shè)y是方程(1)的一個非零特解，1令y?u(x)y代入(1)式,得21yu???(2y??P(x)y)u??(y???P(x)y??Q(x)y)u?0,111111即yu???(2y??P(x)y)u??0,令v?
5、u?,111則有y1v??(2y1??P(x)y1)v?0,yv??(2y??P(x)y)v?0v的一階方程111降階法1??P(x)dx1??P(x)dx解得v?e,?u?edx2?2yy111??P(x)dx?y?yedx,21?2y1Liouville公式齊次方程通解為1??P(x)dxy?Cy?Cyedx.1121?2y12.非齊次線性方程通解求法------常數(shù)變易法設(shè)對應(yīng)齊次方程通解為y?Cy?Cy(3)1122設(shè)非齊次方程通解為y?c(x)y?c(x)y1122y??c?(x)y?c?(x)y?c(x)y??c(x)y?11221122設(shè)c?(x)y?c?(x)y?0(4
6、)1122y???c?(x)y??c?(x)y??c(x)y???c(x)y??11221122將y,y?,y??代入方程(2),得c?(x)y??c?(x)y??c(x)(y???P(x)y??Q(x)y)11221111?c(x)(y???P(x)y??Q(x)y)?f(x)2222c?(x)y??c?(x)y??f(x)(5)1122?c1?(x)y1?c?2(x)y2?0(4),(5)聯(lián)立方程組??c1?(x)y1??c?2(x)y?2?f(x)yy12?系數(shù)行列式w(x)??0,y?y?12yf(x)y1f(x)?c?(x)??2,c?(x)?,12w(x)w(x)yf(x)
7、2積分可得c1(x)?C1???dx,w(x)yf(x)1c(x)?C?dx,22?w(x)非齊次方程通解為yf(x)yf(x)21y?Cy?Cy?ydx?ydx.11221?2?w(x)w(x)x1例求方程y???y??y?x?1的通解.1?x1?xx1解?1???0,1?x1?xx對應(yīng)齊方程一特解為y1?e,由劉維爾公式x1??dxx1?xy2?e?2xedx?x,e對應(yīng)齊方通解為x.Y?Cx?Ce12x設(shè)原方程的通解為y?c(x)x?c(
