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1、維普資訊http://www.cqvip.com第20卷第3期長沙交通學院學報VO1．20NO．32004年9月JOURNALOFCHANGSHACOMMUNICATIONSUNIVERSITYSept．2004文章編號：1000—9779(2004)03—0032—06幾何非線性的有限位移應力應變增量分析陳常松一，陳政清2，顏東煌(1．長沙理工大學，湖南長沙410076；2．中南大學土木工程學院，湖南長沙410075)摘要：從有限位移理論的應力應變定義出發(fā)，討論了幾何非線性分析中常用的uL格式各種應力應變的增量形式。以平面梁元
2、為例重點分析了僅發(fā)生剛體位移時Euler應力增量和無窮小應變增量、Kirchhof應力增量和Green應變增量的具體表達式，并且推導出用Kirch—hoff應力增量和Green應變增量形式表示的虛功增量方程。關(guān)鍵詞：幾何非線性；uL格式；Kirchhoff應力張量；Green應變張量中圖分類號：U448、27文獻標識碼：A有限位移理論作為結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的基礎(chǔ)，其基本物理量如應變張量和應力張量及其增量形式在定義上與線彈性理論的相應量明顯不同，它嚴格區(qū)分變形前與變形后的構(gòu)形，各物理量定義時嚴格參照參考構(gòu)形，所以不同的參考構(gòu)形產(chǎn)生
3、不同的變形度量和應力度量，其相應的增量形式也截然不同，應變張量可以任意定義，只要求它能以某種方式度量物體的變形，沒有真假之分，但有是否合理之說。而對于應力張量來說，雖然也可以任意定義，但與應變張量不同，應力有真假之分，各種應力張量中只有Euler應力為真實應力，其它形式的應力皆為虛假應力。本文以平面梁元的剛體位移為例，說明了在結(jié)構(gòu)幾何非線性分析中為何采用Kirchhoff應力張量和Green應變張量作為度量張量的原因，最后推導出用二者表示的虛功增量方程。這些有助于理解目前幾何非線性分析中常用的UL格式或CR格式中單元節(jié)點位移向量
4、的形式以及切線剛度矩陣的推導過程。1參考構(gòu)形的選擇在利用有限位移的增量理論求解x2時，通常是將變形體的變形加載途徑分成若干段平衡狀態(tài)，每一平衡狀態(tài)對應于變形過程中的一個平衡時刻，設(shè)各平衡時刻的狀態(tài)分別為：n(0】n(¨?n(N)n(N¨?n(，)，．，，，，其中n(?！蚽(，分別表示變形體的初始狀態(tài)和最終狀態(tài)，而n和n¨分別表示變形過程任一時刻t和￡+At的中問平衡狀態(tài)，如圖1所示。增量理論分析通常從已知的初始狀態(tài)出發(fā)，求出下一平衡狀態(tài)時刻的各個物理量．然后再由第一步結(jié)束時圖1變形的增量過程收稿日期：2004—02—17作者簡
5、介：陳常松(1972一)，男，長沙理工大學副教授，中南大學博士生維普資訊http://www.cqvip.com第3期陳常松，陳政清，顏東煌：幾何非線性的有限位移應力應變增量分析33的已知量求第二步的未知量，如此繼續(xù)下去，直到解出所需的結(jié)果。因此增量求解的標準格式是：由已知的第N結(jié)束時的位移、應變和應力等物理量，去推求由第N步到第N+1步的各個物理量的增量，再將各增量疊加到相應的物理量上，便得到第N+1步結(jié)束時的各物理量_l’2]。在描述物體在空間構(gòu)形的變形和受力狀態(tài)時，需要選擇某一時刻的構(gòu)形作為參考構(gòu)形，以便確定每一時刻每一質(zhì)
6、點的位置。參考構(gòu)形的選取原則上可以任意選取，要研究t時刻的運動和變形，可以選擇t時刻或t時刻以前任意時刻的構(gòu)形為參考構(gòu)形。在非線性分析中采用較多的兩種參考構(gòu)形分別是：1)以未變形狀態(tài)的構(gòu)形(也即初始構(gòu)形，用力(0表示；此時t：0)為參考構(gòu)形，所有的物理量都是相對這一參考構(gòu)形的增量值，以這種參考構(gòu)形建立的平衡形式稱為TotalLagrangeFormulation，簡稱TL格式；2)以變形過程中，在t+At時刻前一時刻t已知的平衡狀態(tài)的構(gòu)形n為參考構(gòu)形，所有的物理量都是相對前一平衡時刻t的增量，每一求解增量過程中的參考構(gòu)形都重新調(diào)
7、整，以最近的平衡狀態(tài)作為參考構(gòu)形，以這種參考構(gòu)形建立的平衡形式稱為UpdatedLagrangeFormulation，簡稱UL格式。2變形狀態(tài)的描述有限變形理論認為描述物體變形狀態(tài)的合理的應變分量應具備4個基本條件：①應變?yōu)闊o量綱量；②一組應變分量與變形狀態(tài)單值對應；③有明確的幾何意義且與應力分量可組成能量項；④與描述變形的參考坐標無關(guān)，即滿足剛體運動時的不變性，為張量。2．1描述質(zhì)點運動的三種坐標系連續(xù)介質(zhì)力學理論認為物體是介質(zhì)質(zhì)點的連續(xù)集合，物體的運動和變形實質(zhì)是質(zhì)點的運動。描述歐氏空間內(nèi)的質(zhì)點位置有三種物理性質(zhì)不同坐標系
8、描述方法。1)物質(zhì)坐標系OX。X：X。質(zhì)點在任一時刻t可用描述參考構(gòu)形內(nèi)同一質(zhì)點的參考坐標系OXlX2X3內(nèi)位置坐標X，(J：1，2，3)來識別或定名(物質(zhì)坐標系中的分量下標采用大寫字母表示)，顯然對于指定的質(zhì)點在任意時刻的X，坐標都是相同的，因此也稱X，為物質(zhì)
