擬正規(guī)全純函數(shù)族的正規(guī)性.pdf

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1、倒㈤程黝礎(chǔ)數(shù)學(xué)物理學(xué)報2013，33A(4)：655—660http：／／actams．wipm．a(chǎn)c．cn擬正規(guī)全純函數(shù)族的正規(guī)性術(shù)黃小軍(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院重慶400044)王子鵬(復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院上海200433)摘要：研究了擬正規(guī)全純函數(shù)族的正規(guī)性，得到了相應(yīng)的證規(guī)定則，推廣了以前學(xué)者的結(jié)果關(guān)鍵詞：正規(guī)族；擬正規(guī)族；環(huán)繞數(shù)；同倫．MR(2000)主題分類：32A10中圖分類號：0174文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1003—3998(2013)04—655—061引言假設(shè)戶是定義在平面區(qū)域QcC上的一族全純函數(shù)．稱廠為擬正規(guī)族㈠如果任何{，n}c廠存在

2、子列{．廠)nk}和集合E使得{厶。)在Q—E的每個緊子集上按球面距離一致收斂．稱戶在zo∈Q處擬正規(guī)，如果存在zo的領(lǐng)域UcQ使得廠在區(qū)域U上是擬正規(guī)族．可以直接驗(yàn)證，廠在區(qū)域Q上擬正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)廠在任意Z∈Q處擬正規(guī)．近些年來，關(guān)于擬正規(guī)族理論的研究取得了豐碩的結(jié)果[3,7-8]．另一方面，基于著名的Zalcman引理[12]，正規(guī)族的研究獲得了長足的進(jìn)步，得到了許多突破性的進(jìn)展[13]．自然而有趣的事情是研究擬正規(guī)族和正規(guī)族之間的聯(lián)系，本文我們將探討這一課題，我們將從如下揭示擬全純函數(shù)族正規(guī)性的基本結(jié)果開始．定理A【4】設(shè)廠是定義在平面區(qū)域DcC上的一族全純

3、函數(shù)，a是有限復(fù)數(shù)．如果廠是擬正規(guī)族且vf∈廠，f≠a，則廠在區(qū)域D內(nèi)正規(guī)．自然要問上面的結(jié)果能否推廣到更加廣泛的情形?本文給出了肯定的回答．但是與經(jīng)典的全純例外函數(shù)不同，我們得到了涉及連續(xù)例外函數(shù)的情形．定理1假設(shè)廠是區(qū)域Q上的全純擬正規(guī)族，L(Z)∈c(a)，i．e．Q上的連續(xù)函數(shù)．對于任何f∈廠如果f(z)一n(z)在Q內(nèi)無零點(diǎn)，則廠在區(qū)域Q內(nèi)正規(guī)．考察定義在區(qū)域DcC上的全純函數(shù)．廠和平面上的Jordan區(qū)域y，稱．廠在y上有一個“島”(Island)，如果存在．廠_1(y)的連通分支u使其閉包包含在D中．于是，限制在U上是proper映射．如果，l【，

4、u—y是共性映射則稱，在y上有一個單島(SimpleIsland)．Ahlfors著名的五島定理表述為收稿日期：2012—01—21；修訂日期：2013—05—08E-mail：hxj@cqu．edu．crl+基金項目：國家自然學(xué)科基金(10701084)、浙江省自然學(xué)科基金(Y6090641)、中央高校教師科研基金FRFCU(CDJZRl0100013)和中央高校研究生創(chuàng)新基金FRFCU(CDJXSl0100028)資助656數(shù)學(xué)物理學(xué)報V01．33A定理B[2]假設(shè)Dj(J=1，?，5)是平面上閉包互補(bǔ)相加的Jordan區(qū)域．廠是區(qū)域Q山的全純函數(shù)．如果任何

5、f∈廠，f關(guān)于區(qū)域Dj在Q內(nèi)沒有單島J=1，?，5，則戶在區(qū)域Q上正規(guī)．與五島定理相關(guān)，我們得到了定理2假設(shè)區(qū)域QcC上的全純函數(shù)族是擬正規(guī)族．考察Jordan區(qū)域D，如果任何．廠∈廠，t廠關(guān)于D在Q沒有島，則廠在區(qū)域Q上正規(guī)．2基本結(jié)果為了證明主要定理，我們需要引入一下基本概念和一些基本事實(shí)．復(fù)平面c上的曲線7是指連續(xù)映射7：I—c其中I=[0，1]．進(jìn)一步稱7是閉曲線或圈，如果7(0)=1(1)．曲線u，u：I—C稱為同倫記為札一u，如果存在連續(xù)映射H：I×I—c使得(i)H(t，o)=u(t)Vt∈I，(ii)H(t，1)=v(t)Vt∈I，其中連續(xù)映射日

6、稱為形變．特別的，對于閉曲線“，u，稱仳形變到u，其中H(O，8)=H(1，s)Vs∈I．如果曲線同倫與復(fù)平面c中的單點(diǎn)集，稱該曲線是。論．下面定義閉曲線7外一點(diǎn)a的環(huán)繞數(shù)，記為Wind(一／，o)，粗略的講，環(huán)繞數(shù)刻畫了a繞7的圈數(shù)．其精確定義可參閱文獻(xiàn)[6]，本文考慮一點(diǎn)關(guān)于可微閉曲線的環(huán)繞數(shù)，定義為嘉上蘭，稱有限閉曲線的和為一條鏈，其中aj是正整數(shù)，％是互不相同的曲線．鏈7外一點(diǎn)。巖7的環(huán)繞數(shù)定義為wind(7，a)=∑aiWind("／i，n)．開集中的曲線7CQ同調(diào)與0，如果任意agQ，都有i=1Wind(，y，a)=0．引理1【6]閉曲線札，V：I—

7、c是C—fo}中的同倫閉曲線，則Wind(u，a)=Wind(v，o)．注釋1引理的證明請參閱文獻(xiàn)『6，p192，定理8．6]．下面的引理常被稱為“幅角原理”．引理2[1]如果f(z)是區(qū)域Q上的亞純函數(shù)其零點(diǎn)是aj極點(diǎn)是6k，計其重數(shù)則熹上錙dz其中7是同調(diào)與0且任何零點(diǎn)和極點(diǎn)都不在其上的鏈．注釋2引理的證明請參閱文獻(xiàn)『1，p152，定理18]．下面的引理是擬正規(guī)族的直接推論，為了文章的完整性，我們給出完整的證明．引理3假設(shè)9是區(qū)域B(Q，r)={zlZ—Ozl

8、{蜘)C9和復(fù)數(shù)點(diǎn)列‰C