萬變不離其宗--數(shù)學(xué)中的不變性思想-論文.pdf

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1、2014年第6期福建中學(xué)數(shù)學(xué)23萬變不離其宗——數(shù)學(xué)中的不變性思想蘇建民吳澤民l福建省泉州第五中學(xué)2福建省泉州師范學(xué)院(362000)茫茫題海學(xué)生深陷其中惘然；三載辛苦，一要指出的是，正是這種內(nèi)在的統(tǒng)一性使得我們能夠旦考題變化新穎又往往不知所措而望洋興嘆!近年利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來簡化乘、除運算．類似的題來，福建省的高考、省質(zhì)檢的試題中滲透了一些具目還有：有高等數(shù)學(xué)背景的題目．這些試題立意深刻、變化例2(2013年高考福建卷·理9)已知等比數(shù)新穎，即使第一線的教師也會感到困惑．大干世界列{a}的公

2、比為g，記=1)+l+()+2+?+(，盡管變化無窮，卻仍然有一定之規(guī)．譬如，自然界=l?---1m?am(n-1)+m(，n∈N)，則以下結(jié)中的能量守恒定律反映的是：能量可以從一種形式論一定正確的是轉(zhuǎn)化為其他形式，但在轉(zhuǎn)化過程中能量的總量保持A．?dāng)?shù)列{}為等差數(shù)列，公差為q不變．?dāng)?shù)學(xué)作為自然科學(xué)基礎(chǔ)的一門科學(xué)語言，必B．?dāng)?shù)列{}為等比數(shù)列，公比為q然對此現(xiàn)象有所反映．正所謂萬變不離其宗，盡管C．?dāng)?shù)列{Cn}為等比數(shù)列，公比為q‘?dāng)?shù)學(xué)問題中有著千變?nèi)f化的變換形式，但真正反映其數(shù)學(xué)本質(zhì)的卻是在變換

3、過程中保持不變的性D．?dāng)?shù)列}為等比數(shù)列，公比為質(zhì)．德國數(shù)學(xué)家F．Klein在其著名的Erlangen綱領(lǐng)中，本題以課本習(xí)題：“設(shè)}是等差數(shù)列，證明正是以這種不變性思想來刻畫幾何學(xué)的定義．當(dāng)今S1=a1+日2+?+，=an十l++2+?+，=中學(xué)數(shù)學(xué)中，幾何學(xué)的新課改體現(xiàn)的就是這樣一種d+a+?+仍為等差數(shù)列，并求出公差．”理念．本文擬以近年來福建省的高考、省質(zhì)檢中的為背景，改編成對應(yīng)的等比數(shù)列的問題．利用習(xí)題一些試題，尤其是壓軸題為例，來說明數(shù)學(xué)中的不的結(jié)論和前述不變性關(guān)系，等差對應(yīng)等比；公差對

4、變性思想在解題中的指導(dǎo)作用．應(yīng)公比；片斷和對應(yīng)片斷積就可以得到答案C．1運算關(guān)系中的不變性如果不要求上述的映射_廠()是一一對應(yīng)，就得例1(2009年省質(zhì)檢福建卷·理15)對于等差到另外一種單向不變性，即兩個群之間的同態(tài)．比數(shù)列{a}有如下命題：“若}是等差數(shù)列，a=0，如說：用f(x)=[]表示整數(shù)被3除所得的余數(shù)這S，t是互不相等的正整數(shù)，則有一一—1)=0”．類樣一種對應(yīng)關(guān)系，由于兩個整數(shù)之和被3除所得的比次命題，給出等比數(shù)列}相應(yīng)的一個正確命題余數(shù)等于這兩個整數(shù)被3除所得的余數(shù)之和，即是

5、——．+Y】=+[Y]，因此整數(shù)的加法運算關(guān)系在映射問題的困難在于：一個是減法運算、一個是除f(x)=的作用之下仍然保持不變_廠+J，)=l廠()+法運算，兩個不同的運算如何找出它們之間的“共_廠()．性”，對學(xué)生的思維具有極大的挑戰(zhàn)性，這正是它作例3(2009年高考福建卷·理15)五位同學(xué)圍為壓軸題的原因所在．盡管從表面上來看，它們是成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：①第一位首次報出的兩種不同形式的運算，但是從運算關(guān)系的角度來說，數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1，之后每位卻具有某種內(nèi)在的統(tǒng)一性．正

6、實數(shù)的乘法運算結(jié)構(gòu)同學(xué)所報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和；與實數(shù)的加法結(jié)構(gòu)是“相同的”(這兩個群同構(gòu))，也②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手就是在同構(gòu)映射Y(x1=In．之下，乘法運算關(guān)系一次．已知甲同學(xué)第一個報數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循a×b：C與加法運算關(guān)系In“+Inb=inC保持不變，即環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為——．f(a×6)=．廠(口)+f(b)．基于這種不變性任容易知道：如果按順序直接考查每位同學(xué)所報出的數(shù)a，如果{bn}是等比數(shù)列，則=ln6)是等差數(shù)列

7、，進(jìn)由于數(shù)據(jù)很大難以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性．但是拍手的次數(shù)而有=1，—1)ll1一(，一1)In6=0或1_．需僅與3的倍數(shù)有關(guān)，利用上述的同態(tài)映射f(x)=[X]保24福建中學(xué)數(shù)學(xué)20l4年第6期持加法運算關(guān)系不變，可以轉(zhuǎn)化為考查數(shù)列整數(shù)矛盾．b=f()：[a]的變化規(guī)律：【1】，[1]，[2]，[0】，[2]，[2]，保序同構(gòu)不變性的本質(zhì)是：在同構(gòu)映射之下，[1]，[0]，[1】，[1J_．．．容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列6¨以8為周期；拍手像與原像之間保持大小順序關(guān)系不變．對中學(xué)數(shù)學(xué)的次數(shù)以4為周期；有五位同學(xué)，因

8、此每位同學(xué)拍而言，就是利用函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的大小關(guān)手的次數(shù)以最小公倍數(shù)20為周期；而當(dāng)=16時，系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系．甲同學(xué)第一次拍手，由16+20(m一11≤100知甲同學(xué)例5(2011年省質(zhì)檢福建卷·理l9)已知函數(shù)拍手的總次數(shù)為m=5．)?等2順序關(guān)系中的不變性(I)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；前面討論的是運算結(jié)構(gòu)中的不變性問題，現(xiàn)在(11)設(shè)a：l，g(x)=，(x)，問是否存在實數(shù)k，考慮中學(xué)數(shù)學(xué)另一類常見的順序結(jié)構(gòu)(大小關(guān)系)使得函數(shù)g(x)的圖像上任意不同兩點的斜率都不小中的