雙曲線中點(diǎn)弦存在性的探討.doc

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1、雙曲線中點(diǎn)弦存在性的探討求過(guò)定點(diǎn)的雙曲線的屮點(diǎn)弦問(wèn)題，通常有下面兩種方法：（1）點(diǎn)差法，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程后相減，得到弦屮點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系，從而求出直線方程.（2）聯(lián)立法，即將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與判別式求解.無(wú)論使用點(diǎn)差法還是聯(lián)立法，都要運(yùn)用A>0來(lái)判定屮點(diǎn)弦是否存在，血這完全取決于定點(diǎn)所在的區(qū)域.現(xiàn)分析如下：利用雙曲線及其漸近線，可把平面分成1、11、山三個(gè)區(qū)域（如圖）.當(dāng)尸（心，必）在區(qū)域I內(nèi)吋，有o<4-4<1ab2當(dāng)尸（心必）在區(qū)域II內(nèi)時(shí)，有4-4<°ab2垃-出>1當(dāng)刊心必）在區(qū)域III內(nèi)吋，

2、有/M?利用上述結(jié)論，可以證明：當(dāng)He幾）在區(qū)域I時(shí)，以它為屮點(diǎn)的弦不存在，而在區(qū)域II、III時(shí)，這樣的弦是存在的?證明過(guò)程如下：Z_L=1設(shè)雙曲線產(chǎn)的弦加兩端點(diǎn)為川心乃）,列心幻，屮點(diǎn)為$、x一乃+勺y_乃+乃除，必），則心一2,幾一2.k_X診2運(yùn)用點(diǎn)差法得出的斜率必/?①令直線血的方程為歹一幾二也-心）即y=kx-k^^yQ②22xy_1—7一—2"=1把②代入。b,整理得(b2-a2k2)x2-2ka2(yQ-kxQ)x-a2(yQ-Arx0)2-a2b2=0A=-2ka2(70-kx^)]2-4(i2-a2k2^-a2-A:x0)2-a2b2

3、=4a皆I?。-^)4-i2-a2k2△=-―把①代入③，整理得幾4屮滬儒翅丫琉滬丿I乞-/>1^gi_A<0若P（心必）在II、hi區(qū)域內(nèi)，則/b2或/b2屮點(diǎn)弦存在；0呂-比<1若刊心必）在區(qū)域I內(nèi)，貝IJ/b2,這時(shí)A