7.4 克勒尼希-彭尼模型與近自由電子

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1、1克勒尼希-彭尼模型一維方形勢井陣列周期勢1.0

2、G

3、的增大，UG迅速減小5電子波函數也可以表示成一個傅里葉級數求和遍及邊界條件能夠允許的所有波矢值，對滿足周期

4、性邊界條件的長度為L的一維晶體集合2np/L中的波矢并非全部都出現(xiàn)在任何特定的布洛赫函數的傅里葉展開式中。如果某一波矢k出現(xiàn)在f中，則f的展開式出現(xiàn)的其余波矢都將具有k+G的形式6可以把包含傅里葉分量k的波函數記為fk，則同樣也可記為fk+G，因為如果k出現(xiàn)在傅里葉級數中，則k+G也會出現(xiàn)遍及G的那些波矢k+G是波矢集合2np/L中的一個限制型子集7從上式可以得到所謂的中心方程因此用一組代數方程取代了原來的微分方程。該方程組的方程數目巨大，看起來難以求解，但實際上常常只要解少數幾個就足夠了將波函數的傅里葉展開式代入波動方程，得8一旦

5、解出了C(k)，則電子波函數就可以寫為7.4.1關于布洛赫定理的另一種表述形式T任意格矢等于1滿足布洛赫定理97.4.2電子的晶體動量略10我們討論一個具體的問題：令g表示最短的倒格矢，并假定勢能僅含有一個傅里葉分量Ug=U-g，記為U，于是上述方程組的一部分方程7.4.3關于中心方程的解11系數行列式的一部分行列式的維度是無限的，但令這部分為0就足夠除了重根外，對于一個給定的k，每個根都處在不同的能帶上12周期性d函數勢場中的克勒尼希-彭尼模型7.4.4倒易空間中的克勒尼希-彭尼模型其中G為倒格矢13中心方程變?yōu)槎x于是因此14利

6、用因此以及三角函數公式，上式求和部分變?yōu)榇思纯死漳嵯?彭尼的結果15自由電子的能量7.4.5空格點近似位于第一布里淵區(qū)各合適的倒格矢16例：簡單立方晶格的低能態(tài)自由電子能帶已令17假定勢能的傅里葉分量UG與布里淵區(qū)邊界上的自由電子的動能相比是小的。首先考慮一波矢更好在布里淵區(qū)邊界G/2處7.4.6在布里淵區(qū)邊界附近的近似解因此布里淵區(qū)邊界上的兩個組分波的動能相等18若C(G/2)是波函數在布里淵區(qū)邊界上的一重要系數，則C(-G/2)也是，僅保留中心方程中包含這兩系數的兩方程非零解條件19在布里淵區(qū)邊界處導致寬度為2U的能隙兩系數之比

7、因此f(x)在布里淵區(qū)邊界有兩個解這兩個解分別對應能隙底部和頂部的波函數，具體哪個具有較低的能量取決于U的符號20布里淵區(qū)邊界附近的軌道，同樣二分量近似據中心方程列出下面一對方程非零解條件21令，該量在布里淵區(qū)邊界處為小量兩個能量孰高孰低取決于U的符號22能帶系數比