7.4 克勒尼希-彭尼模型與近自由電子

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1、1克勒尼希-彭尼模型一維方形勢井陣列周期勢1.0

2、G

3、的增大，UG迅速減小5電子波函數(shù)也可以表示成一個傅里葉級數(shù)求和遍及邊界條件能夠允許的所有波矢值，對滿足周期

4、性邊界條件的長度為L的一維晶體集合2np/L中的波矢并非全部都出現(xiàn)在任何特定的布洛赫函數(shù)的傅里葉展開式中。如果某一波矢k出現(xiàn)在f中，則f的展開式出現(xiàn)的其余波矢都將具有k+G的形式6可以把包含傅里葉分量k的波函數(shù)記為fk，則同樣也可記為fk+G，因為如果k出現(xiàn)在傅里葉級數(shù)中，則k+G也會出現(xiàn)遍及G的那些波矢k+G是波矢集合2np/L中的一個限制型子集7從上式可以得到所謂的中心方程因此用一組代數(shù)方程取代了原來的微分方程。該方程組的方程數(shù)目巨大，看起來難以求解，但實際上常常只要解少數(shù)幾個就足夠了將波函數(shù)的傅里葉展開式代入波動方程，得8一旦

5、解出了C(k)，則電子波函數(shù)就可以寫為7.4.1關(guān)于布洛赫定理的另一種表述形式T任意格矢等于1滿足布洛赫定理97.4.2電子的晶體動量略10我們討論一個具體的問題：令g表示最短的倒格矢，并假定勢能僅含有一個傅里葉分量Ug=U-g，記為U，于是上述方程組的一部分方程7.4.3關(guān)于中心方程的解11系數(shù)行列式的一部分行列式的維度是無限的，但令這部分為0就足夠除了重根外，對于一個給定的k，每個根都處在不同的能帶上12周期性d函數(shù)勢場中的克勒尼希-彭尼模型7.4.4倒易空間中的克勒尼希-彭尼模型其中G為倒格矢13中心方程變?yōu)槎x于是因此14利

6、用因此以及三角函數(shù)公式，上式求和部分變?yōu)榇思纯死漳嵯?彭尼的結(jié)果15自由電子的能量7.4.5空格點近似位于第一布里淵區(qū)各合適的倒格矢16例：簡單立方晶格的低能態(tài)自由電子能帶已令17假定勢能的傅里葉分量UG與布里淵區(qū)邊界上的自由電子的動能相比是小的。首先考慮一波矢更好在布里淵區(qū)邊界G/2處7.4.6在布里淵區(qū)邊界附近的近似解因此布里淵區(qū)邊界上的兩個組分波的動能相等18若C(G/2)是波函數(shù)在布里淵區(qū)邊界上的一重要系數(shù)，則C(-G/2)也是，僅保留中心方程中包含這兩系數(shù)的兩方程非零解條件19在布里淵區(qū)邊界處導(dǎo)致寬度為2U的能隙兩系數(shù)之比

7、因此f(x)在布里淵區(qū)邊界有兩個解這兩個解分別對應(yīng)能隙底部和頂部的波函數(shù)，具體哪個具有較低的能量取決于U的符號20布里淵區(qū)邊界附近的軌道，同樣二分量近似據(jù)中心方程列出下面一對方程非零解條件21令，該量在布里淵區(qū)邊界處為小量兩個能量孰高孰低取決于U的符號22能帶系數(shù)比