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1、最優(yōu)估計方法綜述空軍工程大學航天航空工程學院丁超主要內容一、概述二、最小方差估計與線性最小方差估計三、極大似然法估計與極大驗后法估計四、最小二乘法估計與加權最小二乘法估計五、遞推最小二乘法估計概述在科學和技術領域中，經常遇到“估計”問題。所謂“估計”，就是對受到隨機干擾和隨機測量誤差作用的物理系統(tǒng)，按照某種性能指標為最優(yōu)的原則，從具有隨機誤差的測量數據中提取，信息估計出系統(tǒng)的某些參數狀態(tài)變量。這就提出了參數和狀態(tài)估計問題。這些被估參數或被估狀態(tài)可統(tǒng)稱為被估量。一般，估計問題分兩大類，即參數估計和狀態(tài)估計。概述（一）、參數估計參數估計屬于曲線擬合問題。例如做完某項試驗之后，得到若干個
2、觀測值與相應時間的關系。我們希望以一條曲線來表示和的關系，設式中已知的時間函數，一般是的冪函數、指數函數或正余弦函數等等。不隨時間變化。（二）、狀態(tài)估計設系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程分別為式中，為狀態(tài)變量，它是隨時間而變的隨機過程，為控制變量，為系統(tǒng)噪聲，為測量噪聲，為觀測值?，F要根據觀測值來估計狀態(tài)變量，這就是狀態(tài)估計問題。概述最小方差估計與線性最小方差估計一、最小方差估計最小方差準則，要求誤差的方差為最小，它是一種最古典的估計方法，這呼估計方法需要知道被估隨機變量的概率分布密度和數學期望。這種苛刻的先驗條件，使此方法在工程上的應用受到很大限制。評價估計優(yōu)劣的準則是與的誤差的方差為最
3、小，即最小方差估計與線性最小方差估計(二)、線性最小方差估計線性最小方差估計就是估計值為觀測值的線性函數，估計誤差的方差為最小。在使用這種方法時，需要知道觀測值和被估值的一、二階矩，即數學期望和、方差Varz和Varx及協(xié)方差和。根據估計誤差的方差的條件來確定系數a和b。極大似然法估計與極大驗后法估計（一）、極大似然法估計極大似然法估計是以觀測值出現的概率為最大作為估計準則的，它是一種常用的參數估計方法。設是連續(xù)隨機變量，其分布密度為，含有個未知參數。把個獨立觀測值分別代入中的，則得將所得的k個函數相乘，得:稱函數L為似然函數。。極大似然法估計與極大驗后法估計（二）、極大驗后估計極
4、大驗后估計是以已知為前提的。如果只知道，可按下式計算：式中p(x)是x的驗前概率密度，p(z)是觀測值z的概率密度,p(x/z)可用計算方法或實驗方法求得。為了計算p(x/z)需要知道p(x)。在x沒有驗前知識可供利用時，可假定x在很大范圍內變化。一般說來，極大似然估計比極大驗后估計應用普遍，這是由于計算似然函數比計算驗后概率密度較為簡單。最小二乘法估計與加權最小二乘法估計（一）、最小二乘法估計設n次獨立試驗，得到z對觀測。這里表示時間或其他物理量?，F在的任務是：根據這些觀測值，用最優(yōu)的形式來表示z與t之間的函數關系。要求所選擇的f(t)的參數，使得觀測z(k)與對應的函數f(k)
5、的偏差的平方和為最小。最小二乘法估計與加權最小二乘法估計（二）、加權最小二乘法估計最小二乘法每個誤差值e的系數都為1，即每個誤差值都是“等權”的。事實上，在z值的不同測量范圍內，測量精度往往是不同的，因而測量誤差也不相同。合理的辦法是對不同的誤差項加不同的權，即把J寫成:這樣可使擬合曲線接近于測量精度高的點，從而保證擬合曲線有較高的準確度。遞推最小二乘法估計在前面所討論的最小二乘法和加權最小二乘法，需要同時用到所有的測量數據，在計算時不考慮測量數據的時間順序。當測量數據很多時，要求計算機具有很大的存儲量。在實際處理過程中，測量數據往往是按時間順序逐步給出的，我們可先處理已經得到的一
6、批數據，得到的近似估值，來了新的數據后，再對原估值進行修正，這樣可以減少計算機的存儲量。遞推最小二乘法估計把觀測方程寫成矩陣形式遞推可以得：可以肯定，遞推計算結果與成批處理觀測數據的結果是相同的。謝謝！
