破解圖形中變幻莫測的“陰影”.doc

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1、破解圖形中變幻莫測的“陰影”朱詠松(南通市虹橋二中226006)近年來的中考數(shù)學(xué)試卷中，圍繞圖形面積而展開的試題漸多起來，并以它奇妙組合與非常變化困擾了不少學(xué)生，也成為學(xué)生心中的一個“陰影”．今天讓我們走進(jìn)“陰影”，一起來探尋它的破解方法．一、直接公式法〖例1〗如圖，正六邊形與正十二邊形內(nèi)接于同一個⊙O中，已知外接圓的半徑為2，則陰影部分面積為．〖分析〗本圖的陰影很明顯是由六個全等的等腰三角形所構(gòu)成，只要求出一個等腰三角形的面積即可．等腰三角形是一個特殊的幾何圖形，求面積時通常首選“直接用公式”．〖解答〗連結(jié)OA、OB、OC，則

2、OC⊥AB．由圓內(nèi)接正六邊形得等邊△ABO，則∠BAO=60o，AB=OA=2，在⊙O中，OD⊥AB，則AD=AB=1，由勾股定理得OD=，∴CD=2-，S△ABC=AB·CD=2-，∴S陰=6S△ABC=12-6．〖例2〗如圖，AB是同心圓中大圓的弦，且與小圓相切于C點，若AB=8cm，則圖中的陰影部分面積為．〖分析〗本題是求一個圓環(huán)的面積，顯然是用大圓面積減去小圓面積．但題中并沒有給出大、小圓的半徑，只有大圓的弦AB的長，怎么辦呢？〖解答〗連結(jié)OB，OC，由AB為小圓的切線，∴OC⊥AB，在大圓中得BC=AB=4，由勾股定理

3、知OB2-OC2=BC2=16，由S陰=S大圓-S小圓=πOB2-OC2=π（OB2-OC2）=16π【小結(jié)】“直接公式法”通常是針對一些特殊的規(guī)則圖形，且易于直接用公式來表示的問題．但這里也藏著一定的變化，命題者經(jīng)常會將直接需要的量隱藏在其它條件之中，這就要我們善于探尋這些條件間的聯(lián)系．二、面積組合法〖例3〗在Rt△ABC中，∠ACB=90o，S△ABC=30cm2，分別以AC、BC、AB為直徑所作的圓構(gòu)成如圖所示的圖形，則圖中的陰影部分面積為．〖分析〗本題所示的陰影部分的構(gòu)成顯然是：S陰=S⊙M+S⊙N+S△ABC-S⊙O．

4、但題中只給出了△ABC的面積，沒有△ABC的三邊的具體長度，其中有什么奧妙呢？〖解答〗由S陰=S⊙M+S⊙N+S△ABC-S⊙O=π[+-]+30=π+30=30（cm2）．此外，從本題條件分析可知，“陰影部分面積”與“此三角形的具體邊長”沒有什么關(guān)系，只要此三角形面積一定，它的值就是定值．故本題也可自取一組合適的邊長（如AB=5cm，AC=12cm，則BC=13cm），代入上面所列的面積組合中進(jìn)行計算．〖例4〗如圖，⊙Q內(nèi)切與扇形OAB，若扇形OAB的半徑為6cm，圓心角為60o，則圖中陰影部分的面積為．〖分析〗本題所示的陰影

5、部分組合為：S陰=S扇形OAB-S⊙Q．扇形OAB的面積很好解決，⊙Q的面積關(guān)鍵在于半徑，如何來求它的半徑呢？〖解答〗連結(jié)QC、QD、QE，設(shè)⊙Q的半徑為r．∵OA、OB切⊙Q與D、E，且∠AOB=60o∴∠QOE=30o在Rt△OQE中，∠OEQ=90o，∠QOE=30o∴OQ=2EQ=2r由⊙O與⊙Q內(nèi)切于點C∴OC=OQ+QC即3r=6則r=2S陰=S扇形OAB-S⊙Q=（cm2）．〖例5〗如圖，五邊形ABCDE的邊長都大于2，分別以A、B、C、D、E為圓心作半徑為1的圓，則圖中陰影部分的面積為．〖分析〗本題既可以直接看成

6、是五個陰影扇形面積之和，也可以看成五個等圓的面積和減去五個空白扇形面積和．但這五邊形是任意的，我們不知道每個內(nèi)角的具體度數(shù)，怎么辦呢？〖解答〗因為五邊形的內(nèi)角和為540o，則這五個空白扇形的面積之和為：；所以S陰=．【小結(jié)】“面積組合法”是求陰影部分面積中最常用的一種方法，它既考查了學(xué)生對常見幾何圖形面積公式的認(rèn)識，又考查了學(xué)生對幾何圖形的拆解組合能力，還考查了學(xué)生對求解中未知條件分析應(yīng)變能力．故而這種方法是我們在學(xué)習(xí)中要特別關(guān)注的．三、等積形補(bǔ)法〖例6〗如圖，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，以D為圓心，DC為半徑作

7、弧交DA延長線與E，交AB于F，若F點恰為CE的中點，則圖中陰影部分的面積為．〖分析〗本題這兩塊陰影面積連結(jié)DF后，可以分別用“面積組合法”求出．雖不難，但計算過程還是有些繁的，有沒有更好的方法呢？〖解答〗過F點作FG⊥CD于G，因為點F點恰為CE的中點，且FA⊥DE，F(xiàn)G⊥DC，由圖形的對稱性可知：圖中E、A、F構(gòu)成的封閉區(qū)域與C、G、F構(gòu)成的封閉區(qū)域是全等的，所以它們的面積也相等，∴S陰=S矩形BCGF=（cm2）．〖例7〗如圖，⊙O的半徑為6cm，AB是⊙O中的弦，且與半徑相等，OC∥AB，則圖中的陰影部分面積為．〖分析〗

8、本題可以把陰影部分拆分為一個弓形與一個三角形分別計算，有沒有更好的選擇呢？〖解答〗過O作OG⊥AB，過C作CH⊥AB，∵OC∥AB∴OG=CH（平行線間的距離處處相等）由△OAB與△CAB同底等高，得S△OAB=S△CAB∴S陰=S扇形OAB=（cm2）．〖例8