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1、3.52垂徑定理—知識講解（提高）【學習目標】1．理解圓的對稱性；2．掌握垂徑定理及其推論；3．學會運用垂徑定理及其推論解決有關(guān)的計算、證明和作圖問題．【要點梳理】知識點一、垂徑定理1.垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.2.推論 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧. 要點詮釋： (1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即 (2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識點二、垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：（1）平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦
2、，并且平分弦所對的兩條??；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.（4）圓的兩條平行弦所夾的弧相等.要點詮釋：在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）【典型例題】類型一、應(yīng)用垂徑定理進行計算與證明 1.如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，則⊙O的半徑是．【答案】.【解析】作OM⊥AB于M、O
3、N⊥CD于N，連結(jié)OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=.【點評】對于垂徑定理的使用，一般多用于解決有關(guān)半徑、弦長、弦心距之間的運算(配合勾股定理)問題.舉一反三：【變式1】如圖所示，⊙O兩弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半徑．【答案】如圖所示，過點O分別作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，則四邊形MONH為矩形，連結(jié)OB，∴，，∴在Rt△BOM中，．【變式2】如圖，AB為⊙O的弦，M是AB上一點，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半徑.【答案】14cm. 2.已知：⊙O的半徑為
4、10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.【思路點撥】在⊙O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線段的長度，若分別作弦AB、CD的弦心距，則可用弦心距的長表示這兩條平行弦AB、CD間的距離.【答案與解析】(1)如圖1，當⊙O的圓心O位于AB、CD之間時，作OM⊥AB于點M，并延長MO，交CD于N點.分別連結(jié)AO、CO. ∵AB∥CD ∴ON⊥CD，即ON為弦CD的弦心距. ∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， =8+6 =14(cm) 圖1圖2(2)如圖2所
5、示，當⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間(即弦AB、CD在圓心O的同側(cè))時， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm) ∴⊙O中，平行弦AB、CD間的距離是14cm或2cm.【點評】解這類問題時，要按平行線與圓心間的位置關(guān)系，分類討論，千萬別丟解.舉一反三：【變式】在⊙O中，直徑MN⊥AB，垂足為C，MN=10，AB=8，則MC=_________．【答案】2或8．類型二、垂徑定理的綜合應(yīng)用3.要測量一個鋼板上小孔的直徑，通常采用間接的測量方法．如果用一個直徑為10mm的標準鋼珠放在小孔上，測得鋼珠頂端與小孔平面的距離h＝8mm(如圖所示)，求此小孔
6、的直徑d．【思路點撥】此小孔的直徑d就是⊙O中的弦AB．根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形來解決．【答案與解析】過O作MN⊥AB，交⊙O于M、N，垂足為C，則，OC＝MC－OM＝8－5＝3mm．在Rt△ACO中，AC＝，∴AB＝2AC＝2×4＝8mm．答：此小孔的直徑d為8mm．【點評】應(yīng)用垂徑定理解題，一般轉(zhuǎn)化為有關(guān)半徑、弦、弦心距之間的關(guān)系與勾股定理的運算問題.4.不過圓心的直線l交⊙O于C、D兩點，AB是⊙O的直徑，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三個圓中分別畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形；(2)請你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論
7、(OA＝OB除外)(不再標注其他字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程)；(3)請你選擇(1)中的一個圖形，證明(2)所得出的結(jié)論．【答案與解析】(1)如圖所示，在圖①中AB、CD延長線交于⊙O外一點；在圖②中AB、CD交于⊙O內(nèi)一點；在圖③中AB∥CD．(2)在三個圖形中均有結(jié)論：線段EC＝DF．(3)證明：過O作OG⊥l于G．由垂徑定理知CG＝GD．∵AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴AE∥OG∥BF．∵AB為直徑，∴AO＝OB，∴EG＝GF，∴EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．
