例談中考數(shù)學(xué)壓軸題的解題策略.doc

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1、例談二次函數(shù)問(wèn)題的解題策略題目：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A(-1,0)、B(0,)、O(0,0).將此三角板繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O.-1B'A'yxPOBA(1)如圖，一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、B′,求該拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),求使四邊形PBAB′的面積達(dá)到最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及面積的最大值。參考答案：（略）這是一道以平面直角坐標(biāo)系為背景，三角板的旋轉(zhuǎn)變換為載體的中考數(shù)學(xué)壓軸題，它巧妙地將二次函數(shù)圖像上的一動(dòng)點(diǎn)與四邊形融合在一起，使試題呈現(xiàn)“動(dòng)態(tài)”，而充滿生機(jī)。問(wèn)題的設(shè)置由淺入深，梯度明顯

2、。不同的考生都得到個(gè)性化的考查和能力發(fā)揮，充分體現(xiàn)了新課程理念。從分析與解答過(guò)程看，在中考數(shù)學(xué)壓軸題上要有所突破，我認(rèn)為應(yīng)該重視以下解題策略：一、靈活選用待定系數(shù)法求拋物線解析式拋物線解析式有三種基本形式，要根據(jù)拋物線的位置特點(diǎn)、一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)等不同條件而靈活選用。一般地，若已知拋物線上任意三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則拋物線解析式通常設(shè)為一般式y(tǒng)=a+bχ+c；若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值，則一般設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(χ-h)2+k；若已知拋物線與χ軸的交點(diǎn)坐標(biāo)或拋物線與χ軸的交點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，則通常設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(χ-)(χ-)。設(shè)出恰當(dāng)?shù)慕馕鍪?，?huì)為列方程（

3、組）并為解方程（組）帶來(lái)方便。如第(1)問(wèn)中，當(dāng)求出B′(,0)時(shí)，等于已知拋物線與χ軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0)、B′(,0)，可設(shè)拋物線解析式為y=a(χ+1)(χ-)(a≠0)，把B(0,)代入，得方程-a=，a=-1。解一元一次方程比設(shè)為一般式從而解三元一次方程組要方便快捷得多，且不易出錯(cuò)。二、用代數(shù)式巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)或幾何圖形中相關(guān)線段的長(zhǎng)用代數(shù)式巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)往往是解題的關(guān)鍵。函數(shù)解析式主要反應(yīng)了自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)變化規(guī)律，利用這種變化關(guān)系可以巧妙地設(shè)置函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)。如第(2)問(wèn)中，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為χ時(shí)；又P點(diǎn)在拋物線y=-+(-1)χ+上，所以

4、P點(diǎn)縱坐標(biāo)可表示為-+(-1)χ+。這種巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，為下一步求四邊形面積用代數(shù)方法創(chuàng)造了契機(jī)，為解決難點(diǎn)找到了突破口。一般地，正比例函數(shù)y=kχ圖像上的點(diǎn)，可設(shè)為(χ，kχ)；一次函數(shù)y=kχ+b圖像上的點(diǎn)，可設(shè)為(χ，kχ+b)；反比例函數(shù)y=圖像上的點(diǎn)，可設(shè)為(χ，)；二次函數(shù)y=a+bχ+c圖像上的點(diǎn),可設(shè)為(χ，a+bχ+c)。此外，幾何圖形中相關(guān)線段的長(zhǎng)、特殊函數(shù)值等，如果用代數(shù)式表示，就會(huì)為建立方程(組)或函數(shù)模型創(chuàng)造有利條件。這種用字母表示數(shù)的方法，是近幾年來(lái)中考?jí)狠S題中的?？純?nèi)容，它常與點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義緊密結(jié)合在一起，成為解決中考數(shù)學(xué)

5、壓軸題的關(guān)鍵點(diǎn)，因此在中考復(fù)習(xí)中應(yīng)當(dāng)受到高度重視。三、把握點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)不僅滿足函數(shù)解析式，而且還具有特定的幾何意義：點(diǎn)的橫坐標(biāo)絕對(duì)值表示該點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，點(diǎn)的縱坐標(biāo)絕對(duì)值表示該點(diǎn)到χ軸的距離。即根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定圖像(或幾何圖形)中相關(guān)線段的長(zhǎng)度，實(shí)現(xiàn)從“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，這一轉(zhuǎn)化為解題創(chuàng)造了有利條件。如第(2)問(wèn)中，當(dāng)設(shè)第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(χ，-+(-1)χ+)時(shí)，△POB的邊OB上的高可用P點(diǎn)的橫坐標(biāo)χ表示,△POB′的邊OB′上的高可用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)-+(-1)χ+表示。有了這一靈活轉(zhuǎn)化，△POB和△POB′的面

6、積就能分別用代數(shù)式表示出來(lái)。只有把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為相關(guān)線段的長(zhǎng)度，后面問(wèn)題的解決才能順利進(jìn)行。四、建好函數(shù)模型，用好函數(shù)性質(zhì)每當(dāng)遇到求最大值或最小值的時(shí)候，一定要學(xué)會(huì)建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，用好函數(shù)性質(zhì)。構(gòu)建函數(shù)模型常用的方法有：面積法、勾股法、相似法等。如第(2)問(wèn)中，根據(jù)三角形的面積公式構(gòu)建二次函數(shù)：S=++[-+(-1)χ+]，應(yīng)用二次函數(shù)的最值即可解決問(wèn)題?？梢?jiàn)，建好恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，用好函數(shù)性質(zhì)，在解答壓軸題時(shí)顯得至關(guān)重要。五、重視對(duì)平面幾何圖形性質(zhì)的復(fù)習(xí)能否熟練地解答二次函數(shù)綜合題，在很大程度上取決于對(duì)平面幾何圖形性質(zhì)的掌握。那么，與二次函數(shù)最容易結(jié)合的平

7、面幾何圖形有哪些呢？平行線、三角形、四邊形、圓等。命題者常將它們與拋物線上的點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)設(shè)置難點(diǎn)，只有熟練地掌握了這些圖形的相關(guān)性質(zhì)，才能使問(wèn)題得到成功的解決。那么，平面幾何圖形的性質(zhì)中使用率較高有哪些呢?如“勾股定理”、三角形和相似三角形的性質(zhì)、特殊四邊形的性質(zhì)等。勾股定理主要用來(lái)求兩點(diǎn)間的距離、構(gòu)造方程或者判斷三角形的形狀；相似三角形的性質(zhì)主要用來(lái)求線段的長(zhǎng)、構(gòu)造方程或者建立函數(shù)模型；特殊四邊形的性質(zhì)也不例外。所以在中考復(fù)習(xí)中，這些都是重點(diǎn)復(fù)習(xí)的對(duì)象。中考數(shù)學(xué)壓軸題以“動(dòng)態(tài)”題型居多，如有線段的位似變換、直線的旋轉(zhuǎn)與平移，有三角形的旋轉(zhuǎn)、拋物線上一動(dòng)點(diǎn)

8、以及簡(jiǎn)單圖形的折疊等，這些動(dòng)態(tài)因素的融