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《從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維臺灣師大數(shù)學系博士班謝佳睿一般說來，數(shù)學思維可以說是運用數(shù)學概念，去判斷、推理數(shù)學內(nèi)容，以認識或解決數(shù)學問題的心理歷程，其中算術(shù)思維與代數(shù)思維更展現(xiàn)出某種承接關(guān)系。數(shù)學家兼數(shù)學史家Cajori（1859-1930）曾經(jīng)說過：「要探索算術(shù)的最好方法，就是研究代數(shù)取自Moritz,R.E.所編之《OnMathematics-Acollectionofwitty,profound,amusingpassagesaboutMathematicsandMathematicians》?！?；Booth(1984)也曾提出：「如果學生不能理解兩個集合(
2、假定分別含有5個和8個)對象的總數(shù)可以寫成5+8，那么要他們理解a+b表示了兩個集合（分別含有a個和b個）對象的總數(shù)就更不可能了?！惯@都指出了算術(shù)思維與代數(shù)思維的關(guān)聯(lián)。在進一步論述如何從算術(shù)思維過渡（transition）到代數(shù)思維之前，我們將對這兩種思維型態(tài)作初步的認識與了解。一、算術(shù)思維與代數(shù)思維何謂算術(shù)思維？代數(shù)思維？以及這兩種思維之間的界線為何？從古至今眾說紛紜。Usiskin(1999)認為代數(shù)思維關(guān)系到四個不同的概念：算術(shù)的一般化、解特定問題的過程、數(shù)量關(guān)系的探索和結(jié)構(gòu)的探索；而學校的教材則經(jīng)常指涉代數(shù)思維是算術(shù)思維的延伸；有些則將代數(shù)思維界定在符
3、號的演算上；有些則是認為代數(shù)思維在于「求方程的思維」；有些則認為代數(shù)思維重視的是結(jié)構(gòu)化的想法；有些則將代數(shù)思維界定在對運算（operator）的思考上；而有些則認為代數(shù)思維的核心在變量概念的類化；有些甚至將代數(shù)思維歸結(jié)到對函數(shù)的思考；…，難以枚舉。由于各家對此兩種思維莫衷一是，因此本文不對這兩種思維給出明確界定，而只由一些實例來對這兩種思維型態(tài)作初步的了解與區(qū)分。▓從兩個例子來看這兩種思維在解題中扮演的角色為了進一步說明這兩個思維的差別與承接關(guān)系，我們先從一個常見的例子著手：例：小明有24元，買了5枝相同的鉛筆后，還剩4元。問每枝鉛筆是多少錢？學生在面對這個問
4、題時，可能采用這樣的解題方式：24-4＝20（還剩4元，表示花掉了24-4元，也就是5枝筆的價格為20元）……（1）20÷5＝4（5枝筆的價格為20元，因此每枝筆為20除以5，也就是4元）……（2）其中式子（2）學生也可能采用這樣的方式：20＝5×4或5×4＝20（5枝筆的價格為20元，又因為5乘以4為20，所以每枝筆是4元）……（3）上述式子（1）-（2）或（3）的解題方式，都可視為學生在解題時運用了算術(shù)思維，如要再加以細分，（1）-（2）式用的是逆向思考，（3）式是數(shù)的合成分解。另一種的解決這個問題的思考方式，是先假設每枝鉛筆的價格是x元，并依題意列出底下
5、的式子：3024－5x＝4……（4），再利用等量公理或移項法則求出x值。式子（4）的方式，可視學生為運用了代數(shù)思維進行解題。（當然在真正解題時，學生使用的方式可能更為多樣，在此僅為說明方便列舉此兩種方式）從這個例子可以感受到，在算術(shù)思維中，著重的是利用數(shù)量的計算求出答案的過程，這個過程是程序性的、含情境的、具有特殊性的、計算性的，甚而建立在直觀上；相對的，代數(shù)思維倚重的是關(guān)系的符號化及其運算，這個運算是結(jié)構(gòu)性的、去情境的、具有一般性的、形式化的，并且在某種程度上是無法依賴直觀的。在算術(shù)思維中，表達式的功用是一種思考的紀錄，是直接聯(lián)結(jié)題目與答案的橋梁；而在代數(shù)思
6、維中，表達式的功用，不再只是直接聯(lián)結(jié)問題與答案之間的過程紀錄，也充當一個問題轉(zhuǎn)譯的角色，因此，從代數(shù)思維的角度來看，解具體情境題被區(qū)分成兩個部分：列式與求式子的解。被區(qū)分成列式與求式子的解兩部分的特征與算術(shù)思維是不同的。當問題被轉(zhuǎn)譯成代數(shù)式子后，接下來所做的求解運算并不是針對原問題的答案，而是代數(shù)式子（或方程式）的解，而這個過程是一種與原問題、情境無關(guān)的形式（符號）運算，運用的是具有結(jié)構(gòu)性與抽象性的運算法則，最后再對求出的解進行意義上的還原。這種始于問題轉(zhuǎn)譯、對消還原的代數(shù)思維，擴展到符號化、一般化、抽象化及結(jié)構(gòu)化的代數(shù)概念，許多學者就認為中間需通過算術(shù)思維，
7、尤其是對數(shù)量關(guān)系的操作與觀察。也因為如此，一般認為代數(shù)思維的養(yǎng)成在算術(shù)思維之后，且必須奠基于算術(shù)思維之上。另一個例子則取自83年版之國中選修數(shù)學第二冊教師手冊：例：有一矩形，長寬相乘得面積252，長寬相加得32，則長寬各若干？解：取32之半得16，16×16＝256256-252＝44之方根為216+2＝18以及16-2＝14即為長與寬。這個解法為未用任何文字符號，且乍看之下，不但只是進行數(shù)的運算，而且需在特殊數(shù)字下才能進行。然則仔細觀之，不但這種解法含有解方程的思想（詳見教師手冊所示），甚至十分結(jié)構(gòu)化，就算更換數(shù)字也能以相同的方式解出。這種以數(shù)字為范例，進行
8、的卻是一般化的思考，在中國古算經(jīng)中處處
