彈性力學(xué) 柱體的扭轉(zhuǎn).doc

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1、第九章柱體的扭轉(zhuǎn)9.1扭轉(zhuǎn)問題的位移解法學(xué)習(xí)思路:????本節(jié)討論自由扭轉(zhuǎn)問題的位移解法。??首先建立自由扭轉(zhuǎn)的位移假設(shè)：一是剛截面假設(shè)；二是扭轉(zhuǎn)的翹曲位移與軸線方向坐標(biāo)無(wú)關(guān)。通過上述假設(shè)，將柱體的扭轉(zhuǎn)位移用橫截面的翹曲表示，因此使得問題的基本未知量簡(jiǎn)化成為翹曲函數(shù)F(x，y)。??基本未知量翹曲函數(shù)F(x，y)。確定后，通過基本方程，將應(yīng)力分量、應(yīng)變分量用翹曲函數(shù)表示。??位移表示的平衡微分方程要求翹曲函數(shù)滿足調(diào)和方程。因此只要選取的翹曲函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，自然滿足自由扭轉(zhuǎn)問題的基本方程。??自由扭轉(zhuǎn)問題的邊界條件，可以分為兩個(gè)部分：

2、側(cè)面邊界條件和端面邊界條件。??對(duì)于自由扭轉(zhuǎn)，側(cè)面邊界不受力。根據(jù)這一條件，可以轉(zhuǎn)化為翹曲函數(shù)與橫截面邊界的關(guān)系。??端面采用合力邊界條件，就是端面應(yīng)力的合力為扭矩T。這一邊界條件，采用翹曲函數(shù)表達(dá)相當(dāng)復(fù)雜。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：???1.扭轉(zhuǎn)位移假設(shè)；???2.扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)滿足的基本方程；???3.扭轉(zhuǎn)邊界條件；???4.扭轉(zhuǎn)端面邊界條件；??當(dāng)柱體受外力矩作用發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)于非圓截面桿件，其橫截面將產(chǎn)生翹曲。???如果橫截面翹曲變形不受限制，稱為自由扭轉(zhuǎn)；如果橫截面翹曲變形受到限制，就是約束扭轉(zhuǎn)。本章討論的柱體扭轉(zhuǎn)問題為自由扭轉(zhuǎn)。???對(duì)于

3、柱體的自由扭轉(zhuǎn)，假設(shè)柱體的位移約束為固定左端面任意一點(diǎn)和相應(yīng)的兩個(gè)微分線素，使得柱體不產(chǎn)生剛體位移。柱體右端面作用一力偶T，側(cè)面不受力。???設(shè)柱體左端面形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，柱體軸線為z軸建立坐標(biāo)系。柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)發(fā)生變形，設(shè)坐標(biāo)為z的橫截面的扭轉(zhuǎn)角為a，則柱體單位長(zhǎng)的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為。而橫截面的扭轉(zhuǎn)角a=jz。???對(duì)于柱體的自由扭轉(zhuǎn)，首先考察柱體的表面變形。觀察可以發(fā)現(xiàn)，柱體表面橫向線雖然翹曲，但是各個(gè)橫向線的翹曲是基本相同的，而且橫向線的輪廓線形狀基本不變。根據(jù)上述觀察結(jié)論，對(duì)柱體內(nèi)部位移作以下的假設(shè)：1．剛截面假設(shè)。柱體扭轉(zhuǎn)當(dāng)橫截面翹曲

4、時(shí)，它在Oxy平面上的投影形狀保持不變，橫截面作為整體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)扭轉(zhuǎn)角a很小時(shí)，設(shè)OP=r，則P點(diǎn)的位移為2．橫截面的翹曲位移與單位長(zhǎng)度的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j成正比，而且各個(gè)截面的翹曲相同,即w=jF(x，y)。F(x，y)稱為圣維南(SaintVenant)扭轉(zhuǎn)函數(shù)，或者稱為翹曲函數(shù)。對(duì)于位移法求解，需要將平衡微分方程用位移分量表示。因?yàn)楦鶕?jù)幾何方程，應(yīng)變分量為根據(jù)本構(gòu)方程，應(yīng)力分量為對(duì)于平衡微分方程，在不計(jì)體力的條件下，前兩個(gè)方程自然滿足，只有最后一個(gè)方程，為將位移表達(dá)式代入上式，則?上式為L(zhǎng)aplace方程，它表示位移分

5、量如果滿足位移表示的平衡微分方程，即Lamé方程時(shí)，則扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)F(x，y)為調(diào)和函數(shù)。下面考察柱體自由扭轉(zhuǎn)的邊界條件。???對(duì)于自由扭轉(zhuǎn)問題，在側(cè)邊界沒有載荷作用。???由于sx=sy=sz=txy=0，只有txz和tyz不等于零，因此分為柱體側(cè)面和端面兩部份面力邊界條件討論。???柱體的側(cè)邊界沒有外力作用，而且側(cè)面邊界法線方向余弦n=0。因此，面力邊界條件只有第三式需要滿足，有???將翹曲函數(shù)表示的應(yīng)力分量代入上式，并且注意到柱體側(cè)面法線方向余弦與坐標(biāo)系的關(guān)系，n=0，則如圖所示。有???因?yàn)?????????????????

6、?????????所以，柱體側(cè)面面力邊界條件轉(zhuǎn)換為翹曲函數(shù)橫截面邊界條件。有?對(duì)于柱體的端面面力邊界條件，選取柱體任意一個(gè)端面，例如右端面，l=m=0，而n=1。因此面力邊界條件的第三式自然滿足，而前兩式成為???面力的合力為外力矩T，則端面面力邊界條件為???對(duì)于上述邊界條件的前兩式，由于???同理???????????????????????。???所以邊界條件的前兩式是恒滿足的。對(duì)于第三式有令?????????????????????????????????????則T=jGD，其中D表達(dá)了橫截面的幾何特征，GD稱為柱體的抗扭

7、剛度。???總之，柱體的自由扭轉(zhuǎn)的位移解法，歸結(jié)為在邊界條件下求解方程，相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j由公式T=jGD確定。9.2扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力解法學(xué)習(xí)思路:?????柱體自由扭轉(zhuǎn)問題的位移解法，基本方程是翹曲函數(shù)表示的調(diào)和方程?；痉匠痰男问胶?jiǎn)單，但是邊界條件的描述，特別是要用翹曲函數(shù)表達(dá)端面的合力邊界條件比較困難。因此典型的扭轉(zhuǎn)問題均是采用應(yīng)力解法求解的。??自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力解法，以扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)y(x,y)作為基本未知量。主要工作包括利用平衡微分方程建立扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系；將應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的應(yīng)力分量代入變形協(xié)調(diào)方程，可以確定應(yīng)力函數(shù)y(x,y)

8、滿足的基本方程。這是一個(gè)泊松方程。???根據(jù)扭轉(zhuǎn)問題的側(cè)面面力邊界條件，扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)在橫截面的邊界為常數(shù)。對(duì)于單連域問題，可以假設(shè)這個(gè)常數(shù)為零。???對(duì)于扭轉(zhuǎn)問題的端面面力邊界條件，可以確定外力矩和應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1.扭轉(zhuǎn)應(yīng)