轉(zhuǎn)載：澄清問題、NP問題、NPC問題的概念.doc

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1、轉(zhuǎn)載：澄清P問題、NP問題、NPC問題的概念你會(huì)經(jīng)常看到網(wǎng)上出現(xiàn)“這怎么做，這不是NP問題嗎”、“這個(gè)只有搜了，這已經(jīng)被證明是NP問題了”之類的話。你要知道，大多數(shù)人此時(shí)所說的NP問題其實(shí)都是指的NPC問題。他們沒有搞清楚NP問題和NPC問題的概念。NP問題并不是那種“只有搜才行”的問題，NPC問題才是。好，行了，基本上這個(gè)誤解已經(jīng)被澄清了。下面的內(nèi)容都是在講什么是P問題，什么是NP問題，什么是NPC問題，你如果不是很感興趣就可以不看了。接下來你可以看到，把NP問題當(dāng)成是NPC問題是一個(gè)多大的錯(cuò)誤。還是先用幾句話簡(jiǎn)單說明

2、一下時(shí)間復(fù)雜度。時(shí)間復(fù)雜度并不是表示一個(gè)程序解決問題需要花多少時(shí)間，而是當(dāng)問題規(guī)模擴(kuò)大后，程序需要的時(shí)間長(zhǎng)度增長(zhǎng)得有多快。也就是說，對(duì)于高速處理數(shù)據(jù)的計(jì)算機(jī)來說，處理某一個(gè)特定數(shù)據(jù)的效率不能衡量一個(gè)程序的好壞，而應(yīng)該看當(dāng)這個(gè)數(shù)據(jù)的規(guī)模變大到數(shù)百倍后，程序運(yùn)行時(shí)間是否還是一樣，或者也跟著慢了數(shù)百倍，或者變慢了數(shù)萬倍。不管數(shù)據(jù)有多大，程序處理花的時(shí)間始終是那么多的，我們就說這個(gè)程序很好，具有O(1)的時(shí)間復(fù)雜度，也稱常數(shù)級(jí)復(fù)雜度；數(shù)據(jù)規(guī)模變得有多大，花的時(shí)間也跟著變得有多長(zhǎng)，這個(gè)程序的時(shí)間復(fù)雜度就是O(n)，比如找n個(gè)數(shù)中的

3、最大值；而像冒泡排序、插入排序等，數(shù)據(jù)擴(kuò)大2倍，時(shí)間變慢4倍的，屬于O(n^2)的復(fù)雜度。還有一些窮舉類的算法，所需時(shí)間長(zhǎng)度成幾何階數(shù)上漲，這就是O(a^n)的指數(shù)級(jí)復(fù)雜度，甚至O(n!)的階乘級(jí)復(fù)雜度。不會(huì)存在O(2*n^2)的復(fù)雜度，因?yàn)榍懊娴哪莻€(gè)“2”是系數(shù)，根本不會(huì)影響到整個(gè)程序的時(shí)間增長(zhǎng)。同樣地，O(n^3+n^2)的復(fù)雜度也就是O(n^3)的復(fù)雜度。因此，我們會(huì)說，一個(gè)O(0.01*n^3)的程序的效率比O(100*n^2)的效率低，盡管在n很小的時(shí)候，前者優(yōu)于后者，但后者時(shí)間隨數(shù)據(jù)規(guī)模增長(zhǎng)得慢，最終O(n^

4、3)的復(fù)雜度將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過O(n^2)。我們也說，O(n^100)的復(fù)雜度小于O(1.01^n)的復(fù)雜度。容易看出，前面的幾類復(fù)雜度被分為兩種級(jí)別，其中后者的復(fù)雜度無論如何都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于前者：一種是O(1),O(log(n)),O(n^a)等，我們把它叫做多項(xiàng)式級(jí)的復(fù)雜度，因?yàn)樗囊?guī)模n出現(xiàn)在底數(shù)的位置；另一種是O(a^n)和O(n!)型復(fù)雜度，它是非多項(xiàng)式級(jí)的，其復(fù)雜度計(jì)算機(jī)往往不能承受。當(dāng)我們?cè)诮鉀Q一個(gè)問題時(shí)，我們選擇的算法通常都需要是多項(xiàng)式級(jí)的復(fù)雜度，非多項(xiàng)式級(jí)的復(fù)雜度需要的時(shí)間太多，往往會(huì)超時(shí)，除非是數(shù)據(jù)規(guī)模非常小。自然

5、地，人們會(huì)想到一個(gè)問題：會(huì)不會(huì)所有的問題都可以找到復(fù)雜度為多項(xiàng)式級(jí)的算法呢？很遺憾，答案是否定的。有些問題甚至根本不可能找到一個(gè)正確的算法來，這稱之為“不可解問題”(UndecidableDecisionProblem)。TheHaltingProblem就是一個(gè)著名的不可解問題，在我的MSNSpace上有過專門的介紹和證明。再比如，輸出從1到n這n個(gè)數(shù)的全排列。不管你用什么方法，你的復(fù)雜度都是階乘級(jí)，因?yàn)槟憧偟糜秒A乘級(jí)的時(shí)間打印出結(jié)果來。有人說，這樣的“問題”不是一個(gè)“正規(guī)”的問題，正規(guī)的問題是讓程序解決一個(gè)問題，輸出

6、一個(gè)“YES”或“NO”（這被稱為判定性問題），或者一個(gè)什么什么的最優(yōu)值（這被稱為最優(yōu)化問題）。那么，根據(jù)這個(gè)定義，我也能舉出一個(gè)不大可能會(huì)有多項(xiàng)式級(jí)算法的問題來：Hamilton回路。問題是這樣的：給你一個(gè)圖，問你能否找到一條經(jīng)過每個(gè)頂點(diǎn)一次且恰好一次（不遺漏也不重復(fù)）最后又走回來的路（滿足這個(gè)條件的路徑叫做Hamilton回路）。這個(gè)問題現(xiàn)在還沒有找到多項(xiàng)式級(jí)的算法。事實(shí)上，這個(gè)問題就是我們后面要說的NPC問題。下面引入P類問題的概念：如果一個(gè)問題可以找到一個(gè)能在多項(xiàng)式的時(shí)間里解決它的算法，那么這個(gè)問題就屬于P問題。

7、P是英文單詞多項(xiàng)式的第一個(gè)字母。哪些問題是P類問題呢？通常NOI和NOIP不會(huì)出不屬于P類問題的題目。我們常見到的一些信息奧賽的題目都是P問題。道理很簡(jiǎn)單，一個(gè)用窮舉換來的非多項(xiàng)式級(jí)時(shí)間的超時(shí)程序不會(huì)涵蓋任何有價(jià)值的算法。接下來引入NP問題的概念。這個(gè)就有點(diǎn)難理解了，或者說容易理解錯(cuò)誤。在這里強(qiáng)調(diào)（回到我竭力想澄清的誤區(qū)上），NP問題不是非P類問題。NP問題是指可以在多項(xiàng)式的時(shí)間里驗(yàn)證一個(gè)解的問題。NP問題的另一個(gè)定義是，可以在多項(xiàng)式的時(shí)間里猜出一個(gè)解的問題。比方說，我RP很好，在程序中需要枚舉時(shí)，我可以一猜一個(gè)準(zhǔn)。現(xiàn)在

8、某人拿到了一個(gè)求最短路徑的問題，問從起點(diǎn)到終點(diǎn)是否有一條小于100個(gè)單位長(zhǎng)度的路線。它根據(jù)數(shù)據(jù)畫好了圖，但怎么也算不出來，于是來問我：你看怎么選條路走得最少？我說，我RP很好，肯定能隨便給你指條很短的路出來。然后我就胡亂畫了幾條線，說就這條吧。那人按我指的這條把權(quán)值加起來一看，嘿，神了，路徑長(zhǎng)度98，比100小。于是