微經(jīng)十八講二講.doc

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1、平新喬《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講》答案EatingNoodles第二講間接效用函數(shù)與支出函數(shù)1設(shè)一個(gè)消費(fèi)者的直接效用函數(shù)為．構(gòu)造出該消費(fèi)者的間接效用函數(shù)．并且運(yùn)用羅爾恒等式去構(gòu)造其關(guān)于兩種物品的需求函數(shù)．驗(yàn)證：這樣得到的需求函數(shù)與從直接效用函數(shù)推得的需求函數(shù)是相同的．解：該消費(fèi)者的最大化問(wèn)題是需求函數(shù)為，．消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為，由羅爾恒等式，有，．這與從直接效用函數(shù)中推得的結(jié)果一致．[注]這里的是向量，以后的向量均用黑體表示，以與表示分量的符號(hào)相區(qū)別．2某個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)是，商品1和2的價(jià)格分別是和，此消費(fèi)者的收入為，求間接

2、效用函數(shù)和支出函數(shù)．解：該消費(fèi)者的最大化問(wèn)題是得到需求函數(shù)，．由此得到間接效用函數(shù)．又消費(fèi)者效用最大化意味著，記，可得到支出函數(shù)．1考慮下列間接效用函數(shù)，這里表示收入，問(wèn)：什么是該效用函數(shù)所對(duì)應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)與解：根據(jù)羅爾恒等式，可以得到這個(gè)效用函數(shù)所對(duì)應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)：，．[注]這個(gè)間接效用函數(shù)揭示的是完全互補(bǔ)的偏好．在這樣的偏好下，所有商品的消費(fèi)量都是相等的．典型的情況就是鞋底跟鞋幫的關(guān)系．2考慮一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海與廣州三成事中選擇居住地．假定他的選擇決策只根據(jù)其效用函數(shù)，設(shè)該效用函數(shù)的

3、形式為，這里．已知北京的物價(jià)為，上海的物價(jià)為，并且，但．又知廣州的物價(jià)為．若該退休老人是理智的，他會(huì)選擇哪個(gè)城市去生活？解：設(shè)老人的收入為，那么老人在北京、上海、廣州居住的間接效用分別為，．由，所以．因此老人不會(huì)選擇去廣州生活．11.1設(shè)，這里，求與該效用函數(shù)想對(duì)應(yīng)的支出函數(shù)．解：支出最小化問(wèn)題是其拉格朗日函數(shù)為：．使最小化要求滿(mǎn)足一階條件，1，2．3由1式、2式，得，；4代4入3，得；5代5入4，得，；于是可以得到對(duì)應(yīng)的支出函數(shù)．1.1又設(shè)，同樣，求與該效用函數(shù)想對(duì)應(yīng)的支出函數(shù)解：解法與5.1完全相同，得到．[注]即為

4、，這樣寫(xiě)一是為了節(jié)省空間，再有可以和支出函數(shù)區(qū)別開(kāi)來(lái)．1.2證明：證明：根據(jù)5.1與5.2的結(jié)果，得到．2設(shè)某消費(fèi)者的間接效用函數(shù)為，這里．什么是該消費(fèi)者對(duì)物品1的?？怂剐枨蠛瘮?shù)？解：若消費(fèi)束是消費(fèi)者的最優(yōu)選擇，那么根據(jù)引理一，間接效用函數(shù)與支出函數(shù)存在以下關(guān)系，1記，由該消費(fèi)者的間接效用函數(shù)，得到．2由1式和2式，得到．因此，由Shepard引理，得到，．3考慮含種商品的Cobb-Douglas效用函數(shù)這里，，1.1求馬歇爾需求函數(shù)解：約束條件為．做的單調(diào)變換，最大化的一階條件為，即，．代入約束，得到[注意已知]，因此

5、需求函數(shù)為，．[注]作單調(diào)變換后，計(jì)算得到簡(jiǎn)化．[注]是的另一種寫(xiě)法，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用較多．用分量來(lái)表示，即為．下同．1.2求間接效用函數(shù)解：根據(jù)7.1的結(jié)果，其中．1.3計(jì)算支出函數(shù)解：令，得到；又由，得到．1.4計(jì)算?？怂剐枨蠛瘮?shù)解：根據(jù)Shepard引理和7.3的結(jié)果，得到?？怂剐枨蠛瘮?shù)，．1以Cobb-Douglas效用函數(shù)為例說(shuō)明求解效用最大化問(wèn)題和求解支出最小化問(wèn)題可以得到同一需求函數(shù)．說(shuō)明：這道題我的理解是，說(shuō)明在效用最大化問(wèn)題中解得的馬歇爾需求函數(shù)和支出最小化問(wèn)題中解得的?？怂剐枨蠛瘮?shù)在函數(shù)值上是相等的．解

6、：令效用函數(shù)形式為，其中，．預(yù)算約束為．求解效用最大化問(wèn)題得到的馬歇爾需求函數(shù)為[見(jiàn)7.1]，．求解支出最小化問(wèn)題得到希克斯需求函數(shù)，；對(duì)任一個(gè)，代入上式得到，代上式入預(yù)算約束得；代上式入?？怂剐枨蠛瘮?shù)得到，．它們?cè)诤瘮?shù)值上與相應(yīng)的馬歇爾需求函數(shù)相等．2下列說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？函數(shù)可以作為某種商品的希克斯需求函數(shù)．答：不對(duì)．因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)中，希克斯替代效應(yīng)．3下列函數(shù)能成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)嗎？為什么？這里，與是兩種商品，為收入．答：要具體分析．一般要求馬歇爾需求函數(shù)滿(mǎn)足（1），以及（1）函數(shù)是和的零次齊次函數(shù)．很明顯，該需

7、求函數(shù)滿(mǎn)足第二個(gè)條件．考慮第一個(gè)條件，如果能將定義在上，那么該函數(shù)能對(duì)于所有的價(jià)格向量成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)；如果只能將定義在上，那么它只能對(duì)于滿(mǎn)足的價(jià)格向量成為一個(gè)馬歇爾需求函數(shù)．[注]我在所有的解答里面都將價(jià)格向量定義為嚴(yán)格正，這與一般的規(guī)定相同．另外，盡管很多題目都假設(shè)需求非負(fù)，但某些情況下需求卻不一定要滿(mǎn)足非負(fù)的限制．任何題目都有前提，把它們說(shuō)明白了，應(yīng)該不會(huì)有問(wèn)題．