通項公式的法.doc

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1、特征方程法求解遞推關系中的數(shù)列通項考慮一個簡單的線性遞推問題.?設已知數(shù)列的項滿足???????????????其中求這個數(shù)列的通項公式.采用數(shù)學歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易于被學生掌握的解法——特征方程法：針對問題中的遞推關系式作出一個方程稱之為特征方程；借助這個特征方程的根快速求解通項公式.下面以定理形式進行闡述.定理1　設上述遞推關系式的特征方程的根為，則當時，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.證明：因為由特征方程得作換元則當時，，數(shù)列是

2、以為公比的等比數(shù)列，故當時，，為0數(shù)列，故（證畢）下面列舉兩例，說明定理1的應用.例1　已知數(shù)列滿足：求解：作方程當時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是例2　已知數(shù)列滿足遞推關系：其中為虛數(shù)單位.當取何值時，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？解：作方程則要使為常數(shù)，即則必須現(xiàn)在考慮一個分式遞推問題（*）.例3　已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式.將這問題一般化，應用特征方程法求解，有下述結果.定理2　如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當特征方程有兩個相同的根（稱

3、作特征根）時，若則若，則其中特別地，當存在使時，無窮數(shù)列不存在.（2）當特征方程有兩個相異的根、（稱作特征根）時，則，其中證明：先證明定理的第（1）部分.作交換則?????????????????????①∵是特征方程的根，∴將該式代入①式得??②將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根于是???????????????????????????????③當，即=時，由②式得故當即時，由②、③兩式可得此時可對②式作如下變化：??????④由是方程的兩個相同的根可以求得?∴將此式代入④式得令則故數(shù)列是以

4、為公差的等差數(shù)列.∴其中當時，當存在使時，無意義.故此時，無窮數(shù)列是不存在的.再證明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有兩個相異的根、，∴其中必有一個特征根不等于，不妨令于是可作變換故，將代入再整理得???????⑤由第（1）部分的證明過程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：???????⑥∵特征方程有兩個相異根、方程有兩個相異根、，而方程與方程又是同解方程.∴將上兩式代入⑥式得當即時，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.此時對于都有當即時，上式也成立.由且可知所以(證畢)注：當時,會退化為常數(shù);當時,可化歸為較易解的遞

5、推關系,在此不再贅述.現(xiàn)在求解前述例3的分類遞推問題.解：依定理作特征方程變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有∴∴即例4　已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）∵對于都有（2）∵∴??????令，得.故數(shù)列從第5項開始都不存在，當≤4，時，.（3）∵∴∴令則∴對于∴（4）顯然當時，數(shù)列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數(shù)列是存在

6、的，當時，則有令則得且≥2.∴當（其中且N≥2）時，數(shù)列從第項開始便不存在.于是知：當在集合或且≥2}上取值時，無窮數(shù)列都不存在.三大類遞推數(shù)列通項公式的求法　　一、一階線性遞推數(shù)列求通項問題一階線性遞推數(shù)列主要有如下幾種形式：???1.???這類遞推數(shù)列可通過累加法而求得其通項公式(數(shù)列{f(n)}可求前n項和).　　當為常數(shù)時，通過累加法可求得等差數(shù)列的通項公式．而當為等差數(shù)列時，則為二階等差數(shù)列，其通項公式應當為形式，注意與等差數(shù)列求和公式一般形式的區(qū)別，后者是，其常數(shù)項一定為０．???2.???這類遞推數(shù)

7、列可通過累乘法而求得其通項公式(數(shù)列{g(n)}可求前n項積).　　當為常數(shù)時，用累乘法可求得等比數(shù)列的通項公式．3.；這類數(shù)列通?？赊D化為，或消去常數(shù)轉化為二階遞推式.例１已知數(shù)列中，,求的通項公式．解析：解法一：轉化為型遞推數(shù)列．∵∴又，故數(shù)列｛｝是首項為２，公比為２的等比數(shù)列．∴，即．解法二：轉化為型遞推數(shù)列．∵=2xn-1+1(n≥2)　?、佟　　?2xn+1　?、冖冢?，得(n≥2)，故｛｝是首項為x2-x1=2，公比為２的等比數(shù)列，即，再用累加法得．解法三：用迭代法．當然,此題也可用歸納猜想法求之，但

8、要用數(shù)學歸納法證明．例２　已知函數(shù)的反函數(shù)為求數(shù)列的通項公式.解析：由已知得，則．令=,則.比較系數(shù)，得.即有．∴數(shù)列｛｝是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，故．評析：此題亦可采用歸納猜想得出通項公式，而后用數(shù)學歸納法證明之．（4）若取倒數(shù),得，令，從而轉化為（1）型而求之.（5）；這類數(shù)列可變換成，令，則轉化為(1)型一階線性遞推公式.例３　設數(shù)列求數(shù)列的通項公式．解析：