材料力學(xué)第04章 桿件變形分析

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1、中北大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系第四章桿件變形分析第一節(jié)桿件軸向拉壓變形第二節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)變形第三節(jié)積分法求梁彎曲變形疊加法求梁彎曲變形第四節(jié)提高梁彎曲剛度的措施總結(jié)與討論桿件在載荷作用下都將發(fā)生變形（deformation）。在有些結(jié)構(gòu)或?qū)嶋H工程中，桿件發(fā)生過(guò)大的變形將影響桿件或結(jié)構(gòu)的正常使用，必須對(duì)桿件的變形加以限制，如工程中使用的傳動(dòng)軸、車床主軸等變形過(guò)大會(huì)造成機(jī)器不能正常工作；而有些結(jié)構(gòu)又需要桿件有較大的變形，如汽車上所使用的疊板彈簧，只有當(dāng)彈簧有較大變形時(shí)，才能起緩沖作用。在結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，無(wú)論是限制桿件的變形，還是利用桿件

2、的變形，都必須掌握計(jì)算桿件變形的方法。本章將具體討論桿件軸向拉伸（或壓縮）、圓軸扭轉(zhuǎn)和彎曲三種情況下的桿件變形。研究桿件變形的目的，一方面是為了分析桿件的剛度問(wèn)題，另一方面則是為了求解超靜定問(wèn)題。第一節(jié)桿件軸向拉壓變形當(dāng)桿件承受軸向載荷時(shí)，其軸向尺寸和橫向尺寸均發(fā)生變化，桿件沿軸線方向的變形，稱為軸向變形（axialdeformation）；垂直于軸線方向的變形，稱為橫向變形（lateraldeformation）。1．拉壓桿的軸向變形與胡克定律實(shí)驗(yàn)表明，桿件受拉時(shí)，軸向尺寸增大，橫向尺寸縮小，桿件受壓時(shí)，軸向尺寸縮

3、小，橫向尺寸增大。設(shè)拉壓桿的橫截面的面積為A，原長(zhǎng)為l，在軸向拉力F作用下產(chǎn)生變形，如圖4-1所示，變形后桿長(zhǎng)為l1，則桿在軸線方向的伸長(zhǎng)量為Δl是桿件長(zhǎng)度尺寸的絕對(duì)改變量，稱為絕對(duì)變形，表示整個(gè)桿件沿軸線方向總的變形量，絕對(duì)變形不能說(shuō)明桿件的變形程度。要度量桿件變形程度的大小，必須消除桿件原有尺寸的影響，桿件均勻變形時(shí)桿件沿軸線方向的相對(duì)變形，即軸向線應(yīng)變（axialstrain）為其中ε為桿件軸線方向的線應(yīng)變，是無(wú)量綱量，拉伸時(shí)為正，壓縮時(shí)為負(fù)。實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于工程中的大部分材料，當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力在一定范圍（比例極限）內(nèi)

4、時(shí)，桿的變形量與外力和桿的原長(zhǎng)成正比，與桿的橫截面面積成反比，并引入比例常數(shù)彈性模量，則可以得到桿件變形的計(jì)算公式為上述為描述彈性范圍內(nèi)桿件承受軸向載荷時(shí)力與變形的胡克定律（Hooke’slaw），適用于等截面常軸力拉壓桿。在比例極限內(nèi)，拉壓桿的軸向變形與材料的彈性模量及桿的橫截面面積成反比，乘積EA稱為拉壓桿的抗拉壓剛度（tensileorcompressionrigidity）。顯然，對(duì)于給定長(zhǎng)度的等截面拉壓桿，在一定的軸向載荷作用下，抗拉壓剛度EA越大，桿的軸向變形就越小。對(duì)于軸向力、橫截面面積或彈性模量沿桿軸

5、逐段變化的拉壓桿，如下圖所示，其軸向變形為對(duì)于軸力和橫截面面積沿軸向連續(xù)變化的情況，其軸向變形量為將式等號(hào)兩邊同除以桿長(zhǎng)，即得到或上式為胡克定律的另一種表達(dá)式。2．拉壓桿的橫向變形與泊松比如圖所示，設(shè)桿件的原寬度為b，在軸向拉力作用下，寬度變?yōu)閎1，橫向變形量為Δb=b1-b，則橫向應(yīng)變?yōu)轱@然，如果桿件是如圖所示的拉伸變形，則ε′為負(fù)值，即軸向拉伸時(shí)，桿沿軸向伸長(zhǎng)，其橫向尺寸減??；軸向壓縮時(shí)，桿沿軸向縮短，橫向尺寸增大。也就是說(shuō)，軸向的正應(yīng)變與橫向的正應(yīng)變的符號(hào)是相反的。通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料在彈性范圍內(nèi)時(shí)，拉壓桿的軸

6、向正應(yīng)變?chǔ)排c橫向正應(yīng)變?chǔ)拧涑烧取Ｓ忙虂?lái)表示橫向正應(yīng)變?chǔ)拧渑c軸向正應(yīng)變?chǔ)胖鹊慕^對(duì)值，有或式中，比例常數(shù)μ稱為泊松比（Poissonradio）。在比例極限內(nèi)，泊松比是一個(gè)材料的彈性常數(shù)，不同材料具有不同的泊松比，大多數(shù)各向同性材料的泊松比例4-1圓截面桿如圖4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm，彈性模量E=200GPa。為保證桿件正常工作，要求其總伸長(zhǎng)不超過(guò)0.10mm，即許用軸向變形[Δl]=0.10mm。試確定桿的直徑d。【解】（1）變形分析。AB段和BC段的軸力分別為FN1=2FFN2=F桿AC

7、的總伸長(zhǎng)為（2）直徑設(shè)計(jì)。按照設(shè)計(jì)要求，總伸長(zhǎng)Δl不得超過(guò)許用變形[Δl]，即要求例4-1圓截面桿如圖4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm，彈性模量E=200GPa。為保證桿件正常工作，要求其總伸長(zhǎng)不超過(guò)0.10mm，即許用軸向變形[Δl]=0.10mm。試確定桿的直徑d。由此得可以取直徑為3．桁架的節(jié)點(diǎn)位移桁架的變形通常用節(jié)點(diǎn)的位移（displacement）表示，現(xiàn)以下圖所示桁架為例，說(shuō)明桁架節(jié)點(diǎn)位移的分析方法。例4-2桁架是由1、2桿組成，通過(guò)鉸鏈連接，在節(jié)點(diǎn)A承受鉛垂載荷F=40kN作用。已知桿

8、1為鋼桿，橫截面面積A1=960mm2，彈性模量E1=200GPa，桿2為木桿，橫截面面積A2=2.5×104mm2，彈性模量E2=10GPa，桿2的桿長(zhǎng)為1m。求節(jié)點(diǎn)A的位移?！窘狻浚?）利用截面法，可以求得1、2兩桿的軸力分別為（拉力）（壓力）由胡克定律可以求得兩桿的變形分別為（2）求節(jié)點(diǎn)A的位移。節(jié)點(diǎn)A的水平位移與鉛垂位移分別為（↓）（←