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1、適用欄目：競賽之窗適用年級：初三與絕對值有關(guān)的不等式競賽題李培華廣東省化州市文樓中學525136絕對值與不等式相結(jié)合問題是各類競賽的熱點內(nèi)容，也是許多學生解題的難點所在。怎樣求解與絕對值有關(guān)的不等式問題呢？本文將結(jié)合各類競賽題，介紹四種最常用的解題方法，供同學們參考：方法1：分類討論法，即根據(jù)絕對值的概念對原絕對值不等式進行分類討論處理。絕對值概念的定義方式：＝例1（第18屆（2007年）希望杯初二第1試試題）關(guān)于的不等式的所有整數(shù)解的和是______解：①當即時，原絕對值不等式可化為解得；②當即時，原絕對值不等
2、式可化為解得；③當即時，原絕對值不等式可化為解得；綜上得，原絕對值不等式的解集為，從而知整數(shù)解是，，，。故所有整數(shù)解的和是6例2（第13屆（2002年）希望杯初二培訓(xùn)題）已知，且，那么的取值范圍為()解：由得整理得則⑴當時，由且得，即①又②由①②得⑵當時，類似⑴可推出，即③，由③及得綜上得，故選小結(jié)：用分類討論法解題的一般步驟：⑴確定分類討論的對象；⑵將對象進行合理分類；5⑶逐步逐級分類討論；⑷綜合，歸納結(jié)論。練習一：1（第12屆（2001年）希望杯初二培訓(xùn)題）若，且，，則（）2（第13屆（2002年）希望杯初一
3、培訓(xùn)題）不等式的解集是______方法2：數(shù)形結(jié)合法，即結(jié)合絕對值的幾何意義，利用數(shù)軸尋求絕對值不等式的解集。兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義是這兩個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩個點之間的距離。例3（第14屆（2003年）希望杯初二第2試試題）數(shù)軸上的點A、B、P分別對應(yīng)數(shù)、、,并且P與A的距離大于P與B的距離，則（）解：依題意，把A、B在數(shù)軸上標示出來，取AB的中點C,則其表示的數(shù)是，要使P與A的距離大于P與B的距離，則即，就要P在C的左邊，此時滿足，故選D例4（2007年全國初中數(shù)學聯(lián)賽第1試試題）已知對所有實數(shù)，恒成立
4、，則可取得的最大值為______解：由絕對值的幾何意義知，表示與、的距離之和，由數(shù)軸可知，當時，的最小值為3，又當時，的最小值為3即可取得的最大值為3小結(jié)：數(shù)軸是求解絕對值不等式問題的重要鑰匙和有效工具。像例3和例4利用數(shù)軸打開絕對值不等式問題求解思路的大門，以形助數(shù)，以數(shù)解形，從而把抽象問題具體化，把繁雜問題簡單化。練習二：3（第17屆（2006年）希望杯初一培訓(xùn)題）不等式的整數(shù)解有（）4（第17屆（2006年）希望杯初一培訓(xùn)題）任意有理數(shù)，都能使恒成立，則的最大值為（）方法3：等價轉(zhuǎn)化法，即把原絕對值不等式等
5、價轉(zhuǎn)化為新不等式，使得兩者的解集完全相同。5例5（第17屆（2006年）希望杯初二第1試試題）要使代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是_____解：要使原代數(shù)式有意義，必須由⑴得，此不等式等價于解得，由⑵得，此不等式等價于解得由⑶⑷得，的取值范圍是例6（第12屆（2001年）希望杯初二第2試試題）已知，且，那么（）解：，且即將此絕對值不等式兩邊平方得化簡得，故選B小結(jié)：使用等價轉(zhuǎn)化法時，常常用到以下重要性質(zhì)：⑴⑵或⑶練習三：5（第11屆（2000年）希望杯初二培訓(xùn)題）已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是_____6（第18屆
6、（2007年）希望杯初一培訓(xùn)題）關(guān)于的不等式的解包含了不等式，則實數(shù)的取值范圍是（）方法4：特殊檢驗法，即對一時難以解決的一般問題，把它向特殊的形式轉(zhuǎn)化處理。例7（第17屆（2006年）希望杯初二第2試試題）要使代數(shù)式有意義，那么實數(shù)的取值范圍為（）解：縱觀四個選項可知，1和5是的臨界值，不妨取檢驗。當時，原代數(shù)式的分母等于0，不符合要求，從而排除C,D;對比A和B，不妨取代入檢驗，當5時，原代數(shù)式有意義，而B項包含，故選B。小結(jié)：特殊檢驗法特別適用于選擇題，其求解關(guān)鍵在特值的選取。在選取特值時，最好找各個選項彼
7、此不同的特值進行檢驗，這樣才能使得解題既簡便又快捷。練習四：7（第19屆（2008年）希望杯初二第1試試題）使不等式成立的的值是（）A比－1大的數(shù)B比－3小的數(shù)C大于－1或小于－3的數(shù)D－2以外的數(shù)8（第20屆（2009年）希望杯初二第1試試題）若分式的值是負數(shù)，則的取值范圍是（）練習題參考答案與提示：1C。當時，，則，；當時，，則，，故選C。2。當時，，不符合要求，從而有，則，解得。故原不等式的解集為。3C。由絕對值的幾何意義知，的解表示數(shù)軸上到－1和2的距離之和小于7的點的集合。利用數(shù)軸可以看出－3，4到－1
8、和2的距離都等于7，則－3和4之間的數(shù)到－1和2的距離之和小于7。所以，滿足條件的整數(shù)有－2，－1，0，1，2，3共6個。4A。由絕對值的幾何意義知，當時，可取得最小值18，則的最大值為18。5或或。原絕對值不等式可等價轉(zhuǎn)化為由⑴得解得或；由⑵得解得故的取值范圍是或或。6C。原絕對值不等式可等價轉(zhuǎn)化為化簡得當時，解是一切實數(shù)，包含；當時，，要包含5，則必有，解得；當時，，
