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《本章主要介紹n階行列式的定義、性質(zhì)及其計算方法,最后介》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、本章主要介紹n階行列式的定義、性質(zhì)及其計算方法，最后介紹用n階行列式求解n元線性方程組的Cramer法則。本章的重點內(nèi)容是行列式的計算，主要是利用行列式性質(zhì)和行列式展開法則?！?二階與三階行列式一、二元線性方程組與二階行列式：二元線性方程組：（1.1）分別消去變量x2、x1可得：(a11a22－a12a21)x1=b1a22－a12b2；(a11a22－a12a21)x2=a11b2－b1a21；當(dāng)a11a22－a12a21≠0時，求得方程組(1.1)的解為：第一章行列式上述二階行列式的定義可用對角線
2、法則記憶。于是有：若記：則(1.1)的解為：，即：稱a11a22－a12a21為數(shù)表所確定的二階行列式，記為例1求解二元線性方程組：解由于因此二、三階行列式定義1.1設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表（1.2）（1.3）(1.3)式稱為數(shù)表(1.2)所確定的三階行列式。記例2計算三階行列式例3求解方程解方程左端的三階行列式即2x2－12x+16=0，解得x=2或x=4。解D=12－6+12+36+12+2=68D=4x2+32+4x－16x－16－2x2=2x2－12x+16對三元線性方程組：若記：則當(dāng)系數(shù)
3、行列式D≠0時，仍然有解：共有6種放法，這六個不同的三位數(shù)是：123，132，231，213，312，321由引例可知所有不同的3級排列共有6個。一般地，所有不同的n級排列共有n!個。引例用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解這個問題就是把三個數(shù)字分別放在百位、十位和個位上，共有幾種不同的放法?定義1.2由n個數(shù)1,2,3,…,n所組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列。§2排列在一個排列中，當(dāng)某兩個數(shù)的先后次序與標準次序不同時，即較大的數(shù)排在較小的數(shù)前面，就說這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序。
4、對n個自然數(shù)，通常規(guī)定從小到大為標準次序，一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)。例如:排列123中沒有逆序，其逆序數(shù)為?(123)＝0；排列132中有32一個逆序，其逆序數(shù)為?(132)＝1；排列213中有21一個逆序，其逆序數(shù)為?(213)＝1；排列231中有21、31二個逆序，則?(231)＝2；排列312中有31、32二個逆序，則?(312)＝2；排列321中有32、31、21三個逆序，則?(321)＝3.用?(j1j2…jn)表示n級排列j1j2…jn的逆序數(shù)。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇
5、排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列。例如:123、231、312為偶排列,132、213、321為奇排列。一般地，對n個自然數(shù)的一個排列p1,p2,…,pn考慮數(shù)pi(i=1,2,…,n),如果比pi大的且排在pi前面的數(shù)有ti個,就說數(shù)pi的逆序數(shù)是ti,全體數(shù)的逆序數(shù)的總和例4求排列24351的逆序數(shù)。解?(24351)=t1+t2+t3+t4+t5=0+0+1+0+4=5t=t1+t2+……+tn就是這個排列的逆序數(shù)。在排列中,對調(diào)任意兩個元素的位置的變換叫做對換。例如：13254→53214，
6、13254→14253都是對換。定理1.1對排列進行一次對換,改變排列奇偶性。證先證相鄰對換的情形.設(shè)a1…akabb1…bm經(jīng)一次相鄰對換變?yōu)閍1…akbab1…bm。顯然,數(shù)a1，…ak，b1，…bm，的逆序數(shù)經(jīng)對換并未改變,而a，b兩數(shù)的逆序數(shù)改變?yōu)?當(dāng)a＞b時,對換后a的逆序不變,b的逆序減少1;當(dāng)a＜b時,對換后a的逆序增加1,b的逆序不變。所以對換后,改變排列的奇偶性。再證一般對換的情形.相當(dāng)于先對a進行m次相鄰對換變成a1…alb1…bmabc1c2…cn,設(shè)排列a1…alab1…bmb
7、c1c2…cn經(jīng)一次對換變?yōu)閍1…albb1…bmac1c2…cn再對b進行m+1次相鄰對換變?yōu)閍1…albb1…bmac1c2…cn。從而改變排列奇偶性。證畢。推論1對排列做奇數(shù)次對換改變排列的奇偶性，對排列做偶數(shù)次對換不改變排列的奇偶性。推論2在所有n(n>1)級排列中,奇、偶排列個數(shù)相同。推論3對任意n級排列j1j2…jn，都可以經(jīng)過最多n－1次對換變?yōu)闃藴蚀涡蚺帕?2…n，并且所做對換的次數(shù)與原排列有相同的奇偶性?！?n階行列式的定義三階行列式定義為而且，同樣的結(jié)論對二階行列式也成立，即也可寫
8、成定義1.3設(shè)有n2個數(shù)，排成n行n列的數(shù)表作出表中位于不同行不同列的n個數(shù)的乘積的代數(shù)和稱為n階行列式，記作簡記為det(aij)或
9、aij
10、n。數(shù)aij稱為行列式det(aij)的元素。n=1時,一階行列式
11、a
12、=a,不要和絕對值符號相混淆。例5計算對角行列式解按定義有例6計算對角行列式解按定義有例7計算下列行列式(1)下三角行列式(2)上三角行列式作業(yè)習(xí)題A第22頁1、2、3、4、5、6、7練習(xí)題習(xí)題B第25頁1、2、3§4行列式的性質(zhì)下面討論行列
